Transsendent ədəd

Transsendent ədədlər (lat. transcendere — keçmək, üstələmək) — cəbri olmayan, kompleks və ya həqiqi ədədlər, başqa sözlə, qüvvəti tam ədəd (və ya rasional) olan polinomun (çoxhədlinin) kökü olmayan həqiqi ədədləri.

Xüsusiyyətlər

• Bir çox transsendent ədəd kontinualdır.
• Hər bir transsendent həqiqi ədəd irrasionaldır, amma əks proses tamamilə yanlışdır, yəni bütün irrasional ədədlər transsendent ədəd deyildir. Məsələn, ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$  ədədi — irrasionaldır, amma transsendent ədəd deyildir: çünki bu ədəd ${\displaystyle \!x^{2}-2}$  çoxhədlisinin köküdür (və buna görə də bu ədəd cəbri ədəddir).
• Bir çox həqiqi transsendent ədəd sırası, bir çox irrasional ədəd sırası ilə izomorfdur.
• Demək olar ki, hər bir transsendent ədədin irrasionallığının ölçüsü 2-yə bərabərdir.

Nümunələr

• ${\displaystyle \!\pi }$  ədədi.
• ${\displaystyle \!e}$  ədədi.
• İstənilən tam ədədin (${\displaystyle \!10^{n}}$ -dən başqa) onluq loqarifması.
• ${\displaystyle \!\sin a}$ , ${\displaystyle \!\cos a}$  və ${\displaystyle \!\mathrm {tg} \,a}$ , sıfırdan fərqli ixtiyari ${\displaystyle \!a}$  cəbri ədədi üçün (Lindeman — Veyerştrass teoreminə görə).

Tarixi

İlk dəfə transsendent ədəd anlayışını elmə, 1844-cü ildə Liuvill Jozefal daxil etdi. O, öz teoremində sübut etdi ki, cəbr ədədə, rasional kəsrlə yaxınlaşmaq mümkün deyil.

1873-cü ildə Ermit Şarl , natural loqarifmaların əsaslarında e ədədinin transsendentliyini sübut etdi.

1882-ci ildə Lindeman Ferdinand sıfırdan fərqli cəbr göstəricisi ilə e ədədinin dərəcəsinin transsendentliyi haqqında teoremi sübut etdi, bununla da ${\displaystyle \pi }$  ədədinin və dairə kvadraturası məsələsinin həll edilməzliyinin transsendentliyini sübut etdi.

1900-cü ildə keçirilən II Riyaziyyatçıların Beynəlxalq konqressind ə Hilbert David iştirakçılara qeyd edilmiş problemlər arasında yeddinci problemi açıqladı: " Əgər ${\displaystyle a\neq 0}$  — cəbri ədəddirsə və eyni zamanda ${\displaystyle \!b}$  ədədi də cəbridirsə, amma irrasionaldırsa, ${\displaystyle \!a^{b}}$  —nin transsendent ədəd olduğunu söyləmək düzgun olarmı?" Xüsusi halda, ${\displaystyle 2^{\sqrt {2}}}$  ədədi transsendentdir. Bu problem 1934-cü ildə Gelfondom tərəfindən həll edilmişdi. O, sübut etdi ki, bütün bu tip ədədlər həqiqətən transsendentdir.

Bəzi açıq problemlər

• ${\displaystyle \ln \pi }$  ədədinin rasional, cəbri, irrasional və ya transsendent ədəd olduğu məlum deyil.

• ${\displaystyle \ln 2,\ln 3}$  ədədlərinin üçün irrasionallığı naməlumdur.

Mənbə

1. Proof that ${\displaystyle e}$  is transcendental
2. Гельфонд А. О., Трансцендентные и алгебраические числа, М., 1952.
3. Weisstein, Eric W. "${\displaystyle \pi }$  ədədi". Wolfram MatWorld saytından.  (ing.)
4. Weisstein, Eric W. "İrrasionallıq". Wolfram MatWorld saytından.  (ing.)