e (ədəd)

Bu adın digər istifadə formaları üçün bax: E (dəqiqləşdirmə).

e ədədi və ya Eyler ədədi — riyaziyyat, təbiət elmləri və mühəndislikdə istifadə edilən sabit bir həqiqi ədəd, natural loqarifmanin əsası. e ədədi tam qiyməti sonlu sayda rəqəmdən istifadə edilərək yazıla bilməz. Təxmini olara qiyməti 2.71828-ə bərabərdir.

2,7182818284 5904523536 0287471352 6624977572 4709369995 9574966967 6277240766 3035354759 4571382178 5251664274 2746639193 2003059921 8174135966 2904357290 0334295260 5956307381 3232862794 3490763233 8298807531 9525101901 1573834187 9307021540 8914993488 4167509244 7614606680 8226480016 8477411853 7423454424 3710753907 7744992069 5517027618 3860626133 1384583000 7520449338 2656029760 6737113200 7093287091 2744374704 7230696977 2093101416 9283681902 5515108657 4637721112 5238978442 5056953696 7707854499 6996794686 4454905987 9316368892 3009879312 7736178215 4249992295 7635148220 8269895193 6680331825 2886939849 6465105820 9392398294 8879332036 2509443117 3012381970 6841614039 7019837679 3206832823 7646480429 5311802328 7825098194 5581530175 6717361332 0698112509 9618188159 3041690351 5988885193 4580727386 6738589422 8792284998 9208680582 5749279610 4841984443 6346324496 8487560233 6248270419 7862320900 2160990235 3043699418 4914631409 3431738143 6405462531 5209618369 0888707016 7683964243 7814059271 4563549061 3031072085 1038375051 0115747704 1718986106 8739696552 1267154688 9570350354

e ədədinin vergüldən sonrakı min rəqəmi.

Tarixi

Bu ədədi "Loqarifmlərin cədvəlinin təsviri" işinin (1614-cü il) müəllifi şotlandiyalı alim Neveranın şərəfinə "nevera" ədədi də adlandırırlar. Lakin, onun bu işi o qədər də düzgün deyildir, çünki x ədədinin loqarifmi ${\displaystyle 10^{7}\cdot \,\log _{1/e}\left({\frac {x}{10^{7}}}\right)\,\!}$  bərabər idi.

İlk dəfə 1618-ci ildə dərc edilmiş Neperanın yuxarıda göstərilən işinin ingilis dilinə tərcüməsi məxfi saxlanılır. Çünki orada yalnız kinematikada məlum olan natural loqarifmaların cədvəli olur və burada sabit olmur.

Güman edilir ki, ingilis riyaziyyatçısı Otred cədvəlin müəllifi idi. Bu sabitə birinci Leybnits Qyuyqensu məktublarında rast gəlinir (1690 — 1691 il). O bu sabiti b hərfi ilə işarələyirdi.

Adlandırılma

e hərfindən 1727-ci ildə Eyler istifadə etməyə başladı. Müvafiq olaraq, adətən e-ni Eyler ədədi adlandırırlar. Hərçənd ki, bəzi alimlər c hərfindən istifadə etdilər, lakin e hərfi daha çox tətbiq edilirdi və indi də istifadə edilən standart işarədir.

Nəyə görə e hərfi seçilməsi dəqiq məlum deyil. Ola bilərki bu exponential ("nümunə", "səciyyəvi") sözünün e hərfilə başlandığı üçün istifadə edilir. Başqa fərziyyə ondan ibarətdir ki, a, b, c və d hərfləri başqa hesablamalarda geniş istifadə olunurdu, və e birinci "boş" hərf idi.

Bərabərliklər

 

(5)-ci həllə görə 1 < x < e üçün y = 1/x hiperbolası altındakı sahə birə bərabərdir.

• e ədədi, aşağıdakı differsial tənliklər üçün yeganə həqiqi ədəddir:

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}e^{x}=e^{x}\,(1)}$ 

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}lg{x}={\frac {1}{x}}(2)}$ 

• e ədədin limiti aşağıdakı kimidir.

${\displaystyle e=\lim _{n\rightarrow \infty }\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n},(3)}$ 

• e ədədi aşağıdakı sonsuz toplamaya bərabərdir:

${\displaystyle e=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{n!}}={\frac {1}{0!}}+{\frac {1}{1!}}+{\frac {1}{2!}}+{\frac {1}{3!}}+\ldots (4)}$ 

• e ədədinin inteqral tənliyi aşağıdakı kimi qurularsa onda 1 yeganə həllidir:

${\displaystyle \int _{1}^{e}{\frac {1}{x}}\,dx=1(5)}$ 

Tətbiqi

Faiz gəlirinin son qiyməti

Faiz gəlirinin son qiyməti haqqında məsələnin həllinin gedişatında isveç riyaziyyatçısı Bernulli sabiti hesabladı. O müəyyən etdi ki, əgər ilk məbləğ $1-sa və illiklərin 100 %-i yalnız ilin sonunda əlavə edilirsə, onda yekun məbləğ $2 olacaq. Məsələn bir sahibkarın 1 manat pulu var və o pulunu illik 100% gəlir verən banka yerləşdirir. Onda ilin sonunda onu 2 manat pulu olacaq. Eyni qayda ilə davam etsək və gəliri 50% götürsək onda sahibkarın (1+1/2)²=2.25 manat pulu olacaq. Gəliri 25% götürsək onda sahibkarın (1+1/4)⁴=2.4414... manat pulu olacaq. Hər aya (100/12) 8.33...% gəlir olduğunu nəzərə alsaq ilin sonunda (1+1/12)¹²=2.61 manat pul olacaq. Faizi zamana görə qısaltsaq onda hər həftə gələn faiz ilin sonunda - 2.69... manat pul, hər gün gələn faiz ilin sonunda - 2.71453... manat pul olar. Beləliklə, e sabiti illiklərin 100 %-i və faizlərin maksimal sıx kapitallaşdırılması vaxtının mümkün olan maksimal illik gəlirini ifadə edir.

Hesablamalar

• "Şeytan rəqəmi" vasitəsilə vergüldən sonra üç rəqəm dəqiqliklə hesablanılır: qeyd etdiyimiz kimi 666 rəqəmini 6-4, 6-2, 6-1 (2², 2¹, 2⁰) ifadələrindən alınan cavabın müvafiq ardıcılığına (245) bölmək lazımdır:

${\displaystyle {666 \over 245}\approx 2,718}$ .

• e ədədinin yadda saxlanılması üçün başqa hesablama

${\displaystyle {\frac {666}{10\cdot {\sqrt {666}}-13}}}$  (0.001-dən az dəqiqliklə).

• 0,001 dəqiqliklə e ədədinin qiymətinin alınması güman edilir ${\displaystyle \pi \cdot \cos {\pi \over 6}}$ . Tamamilə kobud (0,01 dəqiqliklə) yaxınlaşma aşağıdakı ifadə ilə verilir

${\displaystyle 5\cdot \pi -13}$ .

• « Boinq qaydası":

${\displaystyle e\approx 4\cdot \sin 0,747}$  0,0005 dəqiqliklə.

${\displaystyle 10^{-7}}$  dəqiqliklə hesablamalar

${\displaystyle \,\,\,\,e\,\approx \,3-{\sqrt {\frac {5}{63}}}\,\,\,}$ 

${\displaystyle 10^{-9}\to e\approx 2,7+{\frac {1828}{99990}},}$ 

${\displaystyle 4,6\,\cdot \,10^{-10}\,\,\to \,\,e\,\approx \,3-{\frac {93}{94}}{\sqrt {\frac {3}{37}}}}$ 

• ${\displaystyle 1/e\approx (1-{\frac {1}{10^{6}}})^{10^{6}}}$  0.000001 dəqiqliklə;
• 19/7 qisməti e ədədini 0,004 minliyində üstələyir;
  • 87/32 qisməti e ədədini daha az 0,0005 onminliyində üstələyir;
    • 193/71 qisməti e ədədi 0,00003-də üstələyir;
      • 1264/465 qisməti e ədədini 0,000003-də üstələyir;
        • 2721/1001 qisməti e ədədini 0,0000002-də üstələyir;
          • 23225/8544 qisməti e ədədini daha az 0,00000001-də üstələyir.

Maraqlı faktlar

• 2004-cü ildə Google şirkəti 2 718 281 828 dərəcədə öz gəlirini artırmağı elan edilmişdi. Bildirilmiş ədədin birinci 10 rəqəmi sözügedən riyazi sabiti təşkil edir.
• Nəzəri hesab edilir ki, ən məhsuldar kompüterlər ${\displaystyle e}$  ölçüsünə malik olmalıdır. Amma texniki çətinliklərə görə ikilik say sistemində olan kompüterlər yayıldı. İkilik say sistemində isə istifadə olunan ədədlər 0 və 1-dir.
• Proqramlaşdırma dillərində ${\displaystyle e}$  simvolunun ədədlərinin səciyyəvi yazısında 10 ardıcılı göstərilir. Bu yaradılmanın tarixi riyazi hesablamalar üçün istifadə edilən Fortran dili ilə bağlıdır.

Mənbə

1. NASA-nın istifadə etdiyi e ədədinin vergüldən sonrakı 2 milyon rəqəmi
2. Oxford English Dictionary, 2nd ed.: natural logarithm
3. Encyclopedic Dictionary of Mathematics 142.D