Matris

Matris və ya Matriks — Xətti cəbr anlayışı olub, m sayda sıra və n sayda sütundan ibarət olan rəqəmlər cədvəlidir. Matrisi Sıra Vektorları və Sütun Vektorları yaradır. Matris cədvəlinin hər bir elementinə Matris Komponenti deyilir.

1. Riyaziyyatda və hesablamalarda: əlaqəli vahidlərin təşkili məqsədilə ədədlərin, nöqtələrin, elektron cədvəlin xanalarının və s. elementlərin sətirlər və sütunlar boyu yerləşdirilməsi. Matrislər riyaziyyatda “düzbucaqlı” ədədlər yığınının təsviri və emalı üçün istifadə olunur. Hesablamalarda və tətbiqi proqramlarda matrislərdən verilənlər yığınının cədvəl şəklində, məsələn, axtarış cədvəllərində və elektron cədvəllərdə yerləşdirilməsi üçün istifadə edilir. Sin: TWO-DIMENSIONAL ARRAY; Tut: ARRAY;

2. Aparat vasitələrində: ekranda, eləcə də çapda (məsələn, matrisli printerlərdə çap zamanı) simvolların yaradılması üçün nöqtələrdən ibarət matrislərdən istifadə olunur. Elektronikada informasiyanın kodlaşdırılması, dekodlaşdırılması və ya çevrilməsi üçün məntiqi sxemlər şəbəkələrinin yaradılmasında diodlar və ya tranzistorlardan ibarət matrislərdən istifadə olunur.

"Matris" bir riyazi anlayış kimi ilk dəfə 1850-ci ildə Ceyms Cosef Silvester tərəfindən formalaşdırılmışdır. Matrislərin quruluşu onları xətti bərabərliklər kimi ifadə etməyə kömək edir.Matris anlayışı cədvəl mənasında hələ b. e. ə. III əsrlə b. e..-nın III əsri arasında naməlun Çin riyaziyyatçısı tərəfindən daxil olunmuşdur. Lakin onun geniş tətbiqləri və əhəmiyyəti məhz xətti fəza və xətti inikaslarla sıx əlaqəsi ilə müəyyən olunur.

${\displaystyle {\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\end{pmatrix}}}$ və ya ${\displaystyle {\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\end{bmatrix}}}$

Matrislərin xassələri və onlar üzərində riyazi əməllər

m × n ölçülü A matrisi ( a_i,j, bütün 1 ≤ i ≤ m və 1 ≤ j ≤ n) adətən A[i,j] kimi qeyd olunur ki, bu da öz növbəsində ${\displaystyle A:=(a_{i,j})_{m\times n}}$  deməkdir.

Nümunə:

A matrisi:

${\displaystyle A={\begin{bmatrix}1&2&3\\1&2&7\\4&9&2\\6&0&5\end{bmatrix}}}$ 

4×3 ölçülü matrisdir. A[2,3]/(a_2,3)elementi 7-yə bərabərdir.

R matrisi

${\displaystyle R={\begin{bmatrix}1&2&3&4&5&6&7&8&9\end{bmatrix}}}$ 

1×9 ölçülü matris və ya 9 elementli sıra vektorudur.

Kvadrat Matris

Sətrlərinin sayı sütünlarının sayına bərabər olan matrisə kvadrat matris deyilir.

Nümunə: Əgər m = 3 olarsa, onda

${\displaystyle A_{3}={\begin{bmatrix}1&3&5\\0&9&6\\5&0&1\end{bmatrix}}}$ 

Matrisin ədədə hasili

Matrisi ədədə vurmaq bu matrisin bütün elementlərini həmin ədədə vurmaq deməkdir. Yəni, A matrisini hər hansı bir c ədədinə vurmaq A matrisininin bütün elementlərini c ədədə vurmaq deməkdir.

Nümunə:

${\displaystyle 2{\begin{bmatrix}1&8&-3\\4&-2&5\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}2\times 1&2\times 8&2\times -3\\2\times 4&2\times -2&2\times 5\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}2&16&-6\\8&-4&10\end{bmatrix}}}$ 

Matrislərin toplanılması

Eyni ölçülü iki matrisin uyğun elementlərinin cəmindən düzəldilmiş matrisə matrislərin toplanması deyilir. Yəni, m × n ölçülü A və B matrisləri verilmişdir, onların cəmi olan A + B matrisinin hər bir uyğun elementi, A matrisinin uyğun elementi ilə B matrisin uyğun elementininin cəminə bərabərdir:

(A + B)[i, j] = A[i, j] + B[i, j] )

Nümunə:

${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&3&2\\1&0&0\\1&2&2\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}0&0&5\\7&5&0\\2&1&1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1+0&3+0&2+5\\1+7&0+5&0+0\\1+2&2+1&2+1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&3&7\\8&5&0\\3&3&3\end{bmatrix}}}$ 

Matrislərin çıxılması

Eyni ölçülü iki matrisin uyğun elementlərinin fərqindən düzəldilmiş matrisə matrislərin çıxılması deyilir. Yəni, m × n ölçülü A və B matrisləri verilmişdir, onların fərqi olan A - B matrisinin hər bir uyğun elementi, A matrisinin uyğun elementi ilə B matrisin uyğun elementininin fərqinə bərabərdir:

(A - B)[i, j] = A[i, j] - B[i, j] )

Nümunə:

${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&3&2\\1&0&0\\1&2&2\end{bmatrix}}-{\begin{bmatrix}0&0&5\\7&5&0\\2&1&1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1-0&3-0&2-5\\1-7&0-5&0-0\\1-2&2-1&2-1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&3&-3\\-6&-5&0\\-1&1&1\end{bmatrix}}}$ 

Matrislərin vurulması

${\displaystyle \,\!(AB)[i,j]=A[i,1]B[1,j]+A[i,2]B[2,j]+...+A[i,n]B[n,j]}$ 

Nümunə:

${\displaystyle ={\begin{bmatrix}5&1\\4&2\\\end{bmatrix}}}$ 

Matrislərin hasili bu cür xassələrə malikdir:

• (AB)C = A(BC)
• (A + B)C = AC + BC
• C(A + B) = CA + CB

Qeyd:Matrislər üçün kommutativlik xassəsi yaramır,AB ≠ BA.

Diaqonal anlayışı və vahid matris

Matris diaqonalı, matrisin birinci sağ(sol) sətr və sütun elementi ilə sonuncu sol(sağ) sətr və sütün elementini birləşdirən(uyğun olaraq sağ və sol diaqonal) ədədlər sırasına deyilir.

Məsələn, burada:

${\displaystyle I_{3}={\begin{bmatrix}1&5&3\\4&0&2\\5&9&7\end{bmatrix}}}$ 

sağ(baş) diaqonal elementləri 1,0,7 və sol diaqonal elementləri 3,0,5 dir.

Vahid matris o matrisə deyilir ki, sağ(baş)diaqonalı elementləri 1, digər elemetlər 0 olsun. Kvadrat matris prinsipi zəruridir.

${\displaystyle I_{3}={\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{bmatrix}}}$ 

Determinant

İkili kvadrat matrisin determinantı aşağıda göstərildiyi kimi ifadə olunur.

${\displaystyle \det {\begin{vmatrix}a&b\\c&d\end{vmatrix}}=ad-bc.}$ 

Bu ifadəyə iki tərtibli determinant deyilir. Uyğun olaraq üç tərtibli matrisin determinantı aşağıdakı kimi yazılır.

${\displaystyle \det {\begin{vmatrix}a&b&c\\d&e&f\\g&h&i\end{vmatrix}}=aei+bfg+cdh-ceg-bdi-afh.}$ [1]

Determinantı sıfra bərabər olan matrisə çırlaşmış (və ya məxsusi) matris, determinantı sıfırdan fərqli olan matrisə isə çırlaşmamış (və ya qeyri-məxsusi) matris deyilir.

Determinantların hesablanmasının başqa bir qaydası Sarrius qaydası adlanır. Bu qaydaya görə determinanta dördüncü beşinci sütun (sətr) olaraq birinci və ikinci sütunu (sətri) əlavə edərək alınan üç sol diaqonal elementlərinin hasilini müsbət işarə ilə alınan üç sağ diaqonal elementlərinin hasilini isə mənfi işarə ilə götürməklə determinantın qiymətini hesablamaq olar.

Tərs matris

Fərz edək ki, A hər hansı tərtibli matris, Ag isə həmin tərtibdən olan vahid matrisdir. Əgər A ilə eyni tərtibdən olan elə B matrisi varsa ki,

${\displaystyle AB=BA=J}$ 

bərabərliyi ödənilərsə, onda B matrisinə A-nın tərsi deyilir və B = A⁻¹ kimi yazılır. Teoremə görə hər hansı A matrisinin tərsi varsa, o yeganədir. A matrisinin tərs matrisinin olması üçün zəruri və kafi şərt onun determinantının sıfırdan fərqli olmasıdır.

Ədəbiyyat

• İsmayıl Calallı (Sadıqov), “İnformatika terminlərinin izahlı lüğəti”, 2017, “Bakı” nəşriyyatı, 996 s.

Həmçinin bax

• Matrisin ranqı

İstinadlar

1. Namazov, Q (2012). Ali riyaziyyat dərs vəsaiti. Bakı: Bakı Biznes Universiteti. səh. 16. (#accessdate_missing_url)