Muavr düsturu

Muavr düsturu - kompleks ədədlər üçün ifadə olunan ${\displaystyle z=r(\cos \varphi +i\sin \varphi )\ }$ düsturu, iddia edir ki, ixtiyari ${\displaystyle n\in \mathbb {Z} }$ üçün olduqda Muavr düsturu aşağıdakı kimi olur:

${\displaystyle z^{n}=r^{n}(\cos n\varphi +i\sin n\varphi )\ }$.

İsbatı

Muavr düsturunu Eyler düsturu ilə ${\displaystyle e^{i\varphi }=\cos \varphi +i\sin \varphi \ }$  ifadə edib və qüvvət əməllərini ${\displaystyle (e^{a})^{b}=e^{ab}\!}$  yerini yetirib isbat etmək olar. Burada b — tam ədəddir.

Tətbiqi

Analoji düstur həmçinin kompleks ədədlərin sıfırdan fərqli n-ci köklərinin tapılmasında istifadə olunur:

${\displaystyle z^{1/n}=[r(\cos(\varphi +2\pi k)+i\sin(\varphi +2\pi k))]^{1/n}=r^{1/n}\left(\cos {\frac {\varphi +2\pi k}{n}}+i\sin {\frac {\varphi +2\pi k}{n}}\right),}$ 

k = 0, 1, …, n—1 olduqda.

Tarix

Bu düstur ilk dəfə XVIII əsrdə yaşamış fransız riyaziyyatçısı Abraham de Muavr tərəfindən kəşf edilmişdir və onun şərəfinə adlandırılmışdır.

Qeydlər

1. Əgər b — natamam ədəddirsə, ${\displaystyle (e^{a})^{b}\!}$  — çoxdəyişənli a və ${\displaystyle e^{ab}\!}$  funksiyalarının yalnız birinin qiymətini alacaq