fbpx
Wikipedia

Triqonometriya

Avqust 12, 2021

Triqonometriya (yunanca τρίγωνο trígono „üçbucaq" və μέτρον métron „ölçü") - həndəsənin və bununla riyaziyyatın bir hissəsi olub üçbucaqların tərəflərinin uzunluğu və bucaqları arasındakı münasibətləri öyrədir. Əgər məsələlərin həlli müstəvidə baxılarsa onda bu müstəvi triqonometriyası adlanır, fəzada baş verənlərlə sferik triqonometriya və hiberbolik triqonometriya məşğul olur.

θ bucağının bütün triqonometrik funksiyaları onu əhatə edən, mərkəzi O olan çevrədə qurula bilər.

Triqonometriyanın əsas vəzifəsi üçbucağın verilmiş üç parametri (yan tərəfi, bucağı, meridian və s.) əsasında yerdə qalanlarını təyin etməkdən ibarətdir. Köməkçi vasitə kimi triqonometrik funksiyalardan sin, cos, tan, cot, sec və csc tətbiq edilir. triqonometrik hesabatlar həmçinin daha mürəkkəb həndəsi fiqurlara (poliqonlar, stereometriyadakı fiqurlar) da tətbiq edilə bilər.

Düzbucaqlı üçbucaqda triqonometriya

Triqonometrik məsələlərin həlli düzbucaqlı üçbucaqda nisbətən sadədir. Üçbucağın bucaqlarının cəmi 180° olduğundan düzbucaqlı üçbucaqlarda düzbucaq ən böyük bucaqdır. Onun qarşısında ən böyük tərəf – hipotenuz durur. Yerdə qalan iki qısa tərəf katetlərdir.

Düzbucaqlı üçbucaq üçün bəllidir:

  • Verilmiş bucağın Sinusu = Qarşı katet/Hipotenuz
  • Verilmiş bucağın Kosinusu = Qonşu katet/Hipotenuz
  • Verilmiş bucağın Tangensi = Qarşı katet/Qonşu katet
  • Verilmiş bucağın Kotangensi = Qonşu katet/Qarşı katet
  • Verilmiş bucağın Sekansı = Hipotenuz/Qonşu katet
  • Verilmiş bucağın Kosekansı = Hipotenuz/Qarşı katet

Buradan güründüyü kimi, üçbucağın yalnız bucaqlarının qiymətləri verilərsə onda onun tərəflərini tapmaq çətinlik yaradır. Belə ki, eyni bucqlara malik üçbucaqların tərəfləri müxtəlif uzunluğa malik ola bilər. Ancaq bucaqları eyni olan üçbucalar oxşardırlar.

Triqonometrik funksiyaların vahid çevrədə təyini

Yuxarıda göstərilən təyinatlar yalnız bucağın qiymətinin 90°-dən kiçik olduğu halda tətbiq oluna bilərlər. Radiusu vahidə (1) bərabər olan çevrə triqonometriyanın imkanlarını genişləndirməyə imkan verir. Verilmiş bucağa çevrə üzərində bir nöqtə göstərilir. Dekart koordinat sistemində bu nöqtənin x koordinatı bucağın kosinusuna, z koordinatı isə sinusa bərabər olur.

Yuxarıda sinus və kosinus haqqında verilmiş düsturlar 90°-dən də artıq bucaqlara aid edilə bilir. Çevrədən göründüyü kimi bucaqlar 90°-180°, 180°-270°, 270°-360° arasında dəyişdikcə triqonometrik funksiyaların da işarələri dəyişir.

Əlavə olaraq aşağıdakı 4 triqonometrik funskiya daxil edilir:

 
 
 
 

Ümumi çevrədə triqonometriya

Verilmiş istənilən çevrə daxilində də triqonometrik asılılıqlar təyin edilib. Bu asılılıqlar naməlum tərəfin uzunluğunu və ya bucağın qiymətini təyin etməyə imkan verir. Ən geniş yayılmışı sinuslar və kosinuslar teoremdiir.

Sinuslar teoremi aşağıdakı kimi ifadə edilir:

 

Bundan istifadə etmək üçün gərək iki tərəf və onların qarışısında yerləşən bucaqdan biri, və ya iki bucaq və bir tərəf məlum olsun.

 
 
 

Tətbiq sahələri

Triqonometriya bir çox sahələrdə əsas rol oynayır. Geodeziyada verilmiş nöqtələri birləşdirməklə yaradılan topologiyada trianqulyasiyadan istifadə edilir. Astronomiyada bu üsulla planetlərin arasındakı məsafələr təyin edilir. Triqonometriya eynilə təyyarələrin və gəmilərin naviqasiya edilməsində sferik stronomiya adı ilə tətbiq edilir. Ulduz və planetlərin mövqelərini də bu üsulla təyin etmək mümkündür.

Fizikada sinus və kosinus funksiyalarından rəqslər və dalğaların riyazi təsvir olunmasında istifadə olunur. Dəyişən cərəyanda gərginliyinin və cərəyan şiddətinin zamandan asılı olaraq dəyişməsi də triqonometrik funksiyların köməyi ilə təsvir edilir.

Ümumi məlumat

Triqonometriyanın dünyaya gəlməsi müsəlmanların böyük səylə məşğul olduğu astronomiya ilə bağlıdır ki, bu da namazın dəqiq vaxtını müəyyən etmək baxımından onlar üçün xüsusi əhəmiyyət kəsb edirdi. Lakin hələ müsəlmanlara qədər yunan astronomları Günəşin, Ayın və o zamanlar məlum olan beş planetin necə hərəkət etdiyini anlamaq üçün bəzi üçbucaqların tərəflərinin uzunluğunu və bucaqlarının ölçüsünün digər tərəflərin və bucaqların ölçülərinə əsasən hesablayırdılar. Günəşin, Ayın və digər ulduzlrın yerləşmə məsələləri ilə maraqlanan yunanlar həndəsi məsələlərin həllinə nail olmağa şərait yaradan cədvəllər tərtib etdilər və qaydalar müəyyən etdilər.

Bu mövzular eramızın II əsrinin əvvəlində və ortasında İskəndəriyyədə işləyən astronom, Ptolemey tərəfindən yazılmış “Almaqest” kitabında daha geniş nəzərdən keçirilir. Ptolemeyin elmi əsəri avropa alimlərinin əlinə müsəlmanların vasitəsi ilə keçmiş və həmən kitabı orjinal yunan adı ilə “Nəhəng nizam”, daha qısas isə “Al-madjisti”, yəni “Əzəmətli” adlandırmışlar. Qədim antik dövrün astronomları onların qarşısına çıxan müstəvi triqonometriyası məsələsini həll etməkdən ötrü ilk öncə “Almaqest”in ilk kitabındakı “Ətrafın xorda (əyri xəttin iki nöqtəsini birləşdirən düz xətt) cədvəli”ndən istifadə etdi. 1800 çərçivəsində (yarımdərəcə addım atmaqla) olan qövs və bucaqlar üçün bu cədvəl 60 vahid radiusa malik oaln dairədə bucaqlarla əks tərəfdə duran vətərlərin uzunluğunu göstərir.

XIII əsr müsəlman astronomu Ət-Tusi özünün “Kəsik fiqurlar haqqında” əsərində bu vətərlərin uzunluq cədvəlinin düzbucaqlı üçbucaqlarla bağlı məsələlərin həlli zamanı necə tətbiq olunmasına izah vermişdir. Üçbucaqların digər çevrələrlə əlaqəsini müəyyən edən əsas müşahidələr məhz ona məxsusdur: istənilən üçbucaq dairəyə daxil edilə bilər – beləliklə onun tərəflərini, bucaqları ilə əks mövqedə dayanan qövslərini bitişdirən vətərlər kimi nəzərdən keçirmək olar.

Lakin bu cədvəllərdən istifadə iki maneə ilə çətinləşir. Birincisi, düzbucaqlı üçbucaqda tərəflərin uzunluğunu və bucaqların miqdarını müəyyən edən zaman meydana gələ bilən bütün məsələlərin həlli üçün cədvəldə xeyli manipulyasiyalar etmək və bir sıra aralıq addımlar atmaq tələb olunurdu. Bu, müasir metodlarla nəzərdə tutulanlardan və bizim üçün adi hal olan və ilk dəfə müsəlmanlar tərəfindən sistemləşdirilən altı triqonometrik funksiyanın – sinus, kosinus və tangensin və ona əks olan ölçülərin tətbiq olunmasından gözə çarpacaq dərəcədə fərqlənirdi. Vətərlərin uzunluq cədvəlinin ikinci nöqsan cəhəti onların qövsün uzunluğunu ölçmək üçün tez-tez bucaqların ikiqat artırılmasını tələb etmələri idi.

Bir çox müsəlman alimi hələ X əsrə qədər triqonometriyanın əsasını qoymuşlar – Tusi nəticədə ona tamamlanmış forma verməklə onları topladı və sistemləşdirərək elmə töhfəsini verdi. Onlardan biri də Triqonometriya tarixində ən nüfuzlu fiqurlardan olan Hərran (Türkiyə) sakini Əl-Bəttani idi. O, ən böyük müsəlman astronomu və riyaziyyatçısı hesab olunur. O, 929-cu ildə Samirrada (İraqda) vəfat edib. Onu triqonometrik axtarışlara sövq edən məsələ planetlərin hərəkətlərinə dair müşahidələri idi. Onun haqqında daha çox məlumatı “Astronomiya” bölməsinin “Kainat” başlığından əldə etmək olar.

Min il əvvəl müsəlman alimləri planetlərin hərəkətini müşahidə edərək, əvvəllər bilinməyən məsafələrin və bucaqların ölçülərini müəyyən etməklə triqonometriyanın öyrənilməsində birinci olmuşdular. Bu gün bu fənn, sferik triqonometriya daxil olmaqla, astronomiyanın, kartoqrafiyanın və naviqasiyanın mürəkkəb problemlərinin həllində istifadə olunur.

Vacib odurki, əl-Battani öz riyazi əməliyyatları haqqında izahat verirdi və əməyinin nailiyyətlərini yaxşılaşdırmaq və çoxaltmaq üçün "müşahidəni və tədqiqatları davam etməyə” digərlərini sövq edirdi. Əbu-l-Vəfa, İbn Yunus və İbn əl-Heysam, əl-Battani kimi sferik triqonometriyanı inkişaf etdirirdilər və onu astronomik problemlərin həlli üçün tətbiq edirdilər.

Əl-Battani sinus və kosinus anlayışlarını birinci istifadə etmişdi, ancaq onlara bu gün bizə tanış olan nisbətlər kimi yox, daha çox uzunluq kimi baxırdı. O, divarın içərisinə girmiş xəyali bir üfüqi çubuğun kölgəsini nəzərdə tutaraq, tangensi “uzanmış kölgə” adlandırırdı. XI əsrdə əl-Biruni tangensi və kotangensi triqonometrik funksiyalar kimi təyin etdi. İlkin formada bunların haqqında fikirlər hindlilərdən götürülmüşdür.

Əl-Biruni (973-cü il təvəllüdlü) müasir triqonometriyanın əsasını qoyanlardan biri olmuşdur. Əl-Xorəzmi (780-ci il təvəllüdlü) sinus və kosinus doktrinasını inkişaf etdirmişdir və sonralar Qərb tərəfindən götürülmüş triqonometrik cədvəlləri işləyib hazırlamışdır. Ancaq 500 il keçəndən sonra, tangenslərlə bağlı triqonometriya sahəsi Yeni dövrün riyaziyyatçıları tərəfindən aşkar edildi, və yenə 100 ildən sonra Nikolay Kopernik buna diqqət yetirdi.

Mənbə

  • Wolfgang Pauli: Lehrbuch und Übungsbuch Mathematik: Bd. 2 Planimetrie, Stereometrie und Trigonometrie der Ebene. 1991, ISBN 3-446-00755-5, KNO-NR: 04 41 57 51

Həmçinin bax


Avqust 12, 2021
triqonometriya, yunanca, τρίγωνο, trígono, üçbucaq, μέτρον, métron, ölçü, həndəsənin, bununla, riyaziyyatın, hissəsi, olub, üçbucaqların, tərəflərinin, uzunluğu, bucaqları, arasındakı, münasibətləri, öyrədir, əgər, məsələlərin, həlli, müstəvidə, baxılarsa, ond. Triqonometriya yunanca trigwno trigono ucbucaq ve metron metron olcu hendesenin ve bununla riyaziyyatin bir hissesi olub ucbucaqlarin tereflerinin uzunlugu ve bucaqlari arasindaki munasibetleri oyredir Eger meselelerin helli mustevide baxilarsa onda bu mustevi triqonometriyasi adlanir fezada bas verenlerle sferik triqonometriya ve hiberbolik triqonometriya mesgul olur 8 bucaginin butun triqonometrik funksiyalari onu ehate eden merkezi O olan cevrede qurula biler Triqonometriyanin esas vezifesi ucbucagin verilmis uc parametri yan terefi bucagi meridian ve s esasinda yerde qalanlarini teyin etmekden ibaretdir Komekci vasite kimi triqonometrik funksiyalardan sin cos tan cot sec ve csc tetbiq edilir triqonometrik hesabatlar hemcinin daha murekkeb hendesi fiqurlara poliqonlar stereometriyadaki fiqurlar da tetbiq edile biler Mundericat 1 Duzbucaqli ucbucaqda triqonometriya 2 Triqonometrik funksiyalarin vahid cevrede teyini 3 Umumi cevrede triqonometriya 4 Tetbiq saheleri 5 Umumi melumat 6 Menbe 7 Hemcinin baxDuzbucaqli ucbucaqda triqonometriya RedakteTriqonometrik meselelerin helli duzbucaqli ucbucaqda nisbeten sadedir Ucbucagin bucaqlarinin cemi 180 oldugundan duzbucaqli ucbucaqlarda duzbucaq en boyuk bucaqdir Onun qarsisinda en boyuk teref hipotenuz durur Yerde qalan iki qisa teref katetlerdir Duzbucaqli ucbucaq ucun bellidir Verilmis bucagin Sinusu Qarsi katet Hipotenuz Verilmis bucagin Kosinusu Qonsu katet Hipotenuz Verilmis bucagin Tangensi Qarsi katet Qonsu katet Verilmis bucagin Kotangensi Qonsu katet Qarsi katet Verilmis bucagin Sekansi Hipotenuz Qonsu katet Verilmis bucagin Kosekansi Hipotenuz Qarsi katetBuradan gurunduyu kimi ucbucagin yalniz bucaqlarinin qiymetleri verilerse onda onun tereflerini tapmaq cetinlik yaradir Bele ki eyni bucqlara malik ucbucaqlarin terefleri muxtelif uzunluga malik ola biler Ancaq bucaqlari eyni olan ucbucalar oxsardirlar Triqonometrik funksiyalarin vahid cevrede teyini RedakteYuxarida gosterilen teyinatlar yalniz bucagin qiymetinin 90 den kicik oldugu halda tetbiq oluna bilerler Radiusu vahide 1 beraber olan cevre triqonometriyanin imkanlarini genislendirmeye imkan verir Verilmis bucaga cevre uzerinde bir noqte gosterilir Dekart koordinat sisteminde bu noqtenin x koordinati bucagin kosinusuna z koordinati ise sinusa beraber olur Yuxarida sinus ve kosinus haqqinda verilmis dusturlar 90 den de artiq bucaqlara aid edile bilir Cevreden gorunduyu kimi bucaqlar 90 180 180 270 270 360 arasinda deyisdikce triqonometrik funksiyalarin da isareleri deyisir Elave olaraq asagidaki 4 triqonometrik funskiya daxil edilir tan a sin a cos a displaystyle tan alpha frac sin alpha cos alpha cot a 1 tan a cos a sin a displaystyle cot alpha frac 1 tan alpha frac cos alpha sin alpha sec a 1 cos a displaystyle sec alpha frac 1 cos alpha csc a 1 sin a displaystyle csc alpha frac 1 sin alpha Umumi cevrede triqonometriya RedakteVerilmis istenilen cevre daxilinde de triqonometrik asililiqlar teyin edilib Bu asililiqlar namelum terefin uzunlugunu ve ya bucagin qiymetini teyin etmeye imkan verir En genis yayilmisi sinuslar ve kosinuslar teoremdiir Sinuslar teoremi asagidaki kimi ifade edilir a sin a b sin b c sin g displaystyle frac a sin alpha frac b sin beta frac c sin gamma Bundan istifade etmek ucun gerek iki teref ve onlarin qarisisinda yerlesen bucaqdan biri ve ya iki bucaq ve bir teref melum olsun a 2 b 2 c 2 2 b c cos a displaystyle a 2 b 2 c 2 2bc cos alpha b 2 a 2 c 2 2 a c cos b displaystyle b 2 a 2 c 2 2ac cos beta c 2 a 2 b 2 2 a b cos g displaystyle c 2 a 2 b 2 2ab cos gamma Tetbiq saheleri RedakteTriqonometriya bir cox sahelerde esas rol oynayir Geodeziyada verilmis noqteleri birlesdirmekle yaradilan topologiyada trianqulyasiyadan istifade edilir Astronomiyada bu usulla planetlerin arasindaki mesafeler teyin edilir Triqonometriya eynile teyyarelerin ve gemilerin naviqasiya edilmesinde sferik stronomiya adi ile tetbiq edilir Ulduz ve planetlerin movqelerini de bu usulla teyin etmek mumkundur Fizikada sinus ve kosinus funksiyalarindan reqsler ve dalgalarin riyazi tesvir olunmasinda istifade olunur Deyisen cereyanda gerginliyinin ve cereyan siddetinin zamandan asili olaraq deyismesi de triqonometrik funksiylarin komeyi ile tesvir edilir Umumi melumat RedakteTriqonometriyanin dunyaya gelmesi muselmanlarin boyuk seyle mesgul oldugu astronomiya ile baglidir ki bu da namazin deqiq vaxtini mueyyen etmek baximindan onlar ucun xususi ehemiyyet kesb edirdi Lakin hele muselmanlara qeder yunan astronomlari Gunesin Ayin ve o zamanlar melum olan bes planetin nece hereket etdiyini anlamaq ucun bezi ucbucaqlarin tereflerinin uzunlugunu ve bucaqlarinin olcusunun diger tereflerin ve bucaqlarin olculerine esasen hesablayirdilar Gunesin Ayin ve diger ulduzlrin yerlesme meseleleri ile maraqlanan yunanlar hendesi meselelerin helline nail olmaga serait yaradan cedveller tertib etdiler ve qaydalar mueyyen etdiler Bu movzular eramizin II esrinin evvelinde ve ortasinda Iskenderiyyede isleyen astronom Ptolemey terefinden yazilmis Almaqest kitabinda daha genis nezerden kecirilir Ptolemeyin elmi eseri avropa alimlerinin eline muselmanlarin vasitesi ile kecmis ve hemen kitabi orjinal yunan adi ile Neheng nizam daha qisas ise Al madjisti yeni Ezemetli adlandirmislar Qedim antik dovrun astronomlari onlarin qarsisina cixan mustevi triqonometriyasi meselesini hell etmekden otru ilk once Almaqest in ilk kitabindaki Etrafin xorda eyri xettin iki noqtesini birlesdiren duz xett cedveli nden istifade etdi 1800 cercivesinde yarimderece addim atmaqla olan qovs ve bucaqlar ucun bu cedvel 60 vahid radiusa malik oaln dairede bucaqlarla eks terefde duran veterlerin uzunlugunu gosterir XIII esr muselman astronomu Et Tusi ozunun Kesik fiqurlar haqqinda eserinde bu veterlerin uzunluq cedvelinin duzbucaqli ucbucaqlarla bagli meselelerin helli zamani nece tetbiq olunmasina izah vermisdir Ucbucaqlarin diger cevrelerle elaqesini mueyyen eden esas musahideler mehz ona mexsusdur istenilen ucbucaq daireye daxil edile biler belelikle onun tereflerini bucaqlari ile eks movqede dayanan qovslerini bitisdiren veterler kimi nezerden kecirmek olar Lakin bu cedvellerden istifade iki manee ile cetinlesir Birincisi duzbucaqli ucbucaqda tereflerin uzunlugunu ve bucaqlarin miqdarini mueyyen eden zaman meydana gele bilen butun meselelerin helli ucun cedvelde xeyli manipulyasiyalar etmek ve bir sira araliq addimlar atmaq teleb olunurdu Bu muasir metodlarla nezerde tutulanlardan ve bizim ucun adi hal olan ve ilk defe muselmanlar terefinden sistemlesdirilen alti triqonometrik funksiyanin sinus kosinus ve tangensin ve ona eks olan olculerin tetbiq olunmasindan goze carpacaq derecede ferqlenirdi Veterlerin uzunluq cedvelinin ikinci noqsan ceheti onlarin qovsun uzunlugunu olcmek ucun tez tez bucaqlarin ikiqat artirilmasini teleb etmeleri idi Bir cox muselman alimi hele X esre qeder triqonometriyanin esasini qoymuslar Tusi neticede ona tamamlanmis forma vermekle onlari topladi ve sistemlesdirerek elme tohfesini verdi Onlardan biri de Triqonometriya tarixinde en nufuzlu fiqurlardan olan Herran Turkiye sakini El Bettani idi O en boyuk muselman astronomu ve riyaziyyatcisi hesab olunur O 929 cu ilde Samirrada Iraqda vefat edib Onu triqonometrik axtarislara sovq eden mesele planetlerin hereketlerine dair musahideleri idi Onun haqqinda daha cox melumati Astronomiya bolmesinin Kainat basligindan elde etmek olar Min il evvel muselman alimleri planetlerin hereketini musahide ederek evveller bilinmeyen mesafelerin ve bucaqlarin olculerini mueyyen etmekle triqonometriyanin oyrenilmesinde birinci olmusdular Bu gun bu fenn sferik triqonometriya daxil olmaqla astronomiyanin kartoqrafiyanin ve naviqasiyanin murekkeb problemlerinin hellinde istifade olunur Vacib odurki el Battani oz riyazi emeliyyatlari haqqinda izahat verirdi ve emeyinin nailiyyetlerini yaxsilasdirmaq ve coxaltmaq ucun musahideni ve tedqiqatlari davam etmeye digerlerini sovq edirdi Ebu l Vefa Ibn Yunus ve Ibn el Heysam el Battani kimi sferik triqonometriyani inkisaf etdirirdiler ve onu astronomik problemlerin helli ucun tetbiq edirdiler El Battani sinus ve kosinus anlayislarini birinci istifade etmisdi ancaq onlara bu gun bize tanis olan nisbetler kimi yox daha cox uzunluq kimi baxirdi O divarin icerisine girmis xeyali bir ufuqi cubugun kolgesini nezerde tutaraq tangensi uzanmis kolge adlandirirdi XI esrde el Biruni tangensi ve kotangensi triqonometrik funksiyalar kimi teyin etdi Ilkin formada bunlarin haqqinda fikirler hindlilerden goturulmusdur El Biruni 973 cu il tevelludlu muasir triqonometriyanin esasini qoyanlardan biri olmusdur El Xorezmi 780 ci il tevelludlu sinus ve kosinus doktrinasini inkisaf etdirmisdir ve sonralar Qerb terefinden goturulmus triqonometrik cedvelleri isleyib hazirlamisdir Ancaq 500 il kecenden sonra tangenslerle bagli triqonometriya sahesi Yeni dovrun riyaziyyatcilari terefinden askar edildi ve yene 100 ilden sonra Nikolay Kopernik buna diqqet yetirdi Menbe RedakteWolfgang Pauli Lehrbuch und Ubungsbuch Mathematik Bd 2 Planimetrie Stereometrie und Trigonometrie der Ebene 1991 ISBN 3 446 00755 5 KNO NR 04 41 57 51Hemcinin bax RedakteTriqonometriyanin esas dusturlari Sinuslar teoremi Kosinuslar teoremi Bucaq Hendese Duz xettMenbe https az wikipedia org w index php title Triqonometriya amp oldid 6050587, wikipedia, oxu, kitab, kitabxana, axtar, tap, hersey,

ne axtarsan burda

, en yaxsi meqale sayti, meqaleler, kitablar, oyrenmek, wiki, bilgi, tarix, seks, porno, indir, yukle, sex, azeri sex, azeri, seks yukle, sex yukle, izle, seks izle, porno izle, mobil seks, telefon ucun, chat, azeri chat, tanisliq, tanishliq, azeri tanishliq, sayt, medeni, medeni saytlar, chatlar, mekan, tanisliq mekani, mekanlari, yüklə, pulsuz, pulsuz yüklə, mp3, video, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, şəkil, muisiqi, mahnı, kino, film, kitab, oyun, oyunlar.