Üçbucaq

Üçbucaq — Müstəvinin bir düz xətt üzərində olmayan 3 nöqtəsini cüt-cüt və ardıcıl şəkildə birləşdirən 3 düz xətt parçasından ibarət fiqur. Nöqtələr onun təpələri, parçalar onun tərəfləridir.

Üçbucağın təpələri adətən böyük latın hərfləri ilə (A, B, C), uyğun təpədəki bucaqların dərəcə ölçüsü yunan hərfləri (α,β,γ) ilə, uyğun təpənin qarşısındakı tərəfin uzunluğu isə əlyazma latın hərfləri ilə (a, b, c) işarə olunur.

Üçbucağın növləri

Üçbucağın növləri
İtibucaqlı üçbucaq	Korbucaqlı üçbucaq	Düzbucaqlı üçbucaq
Müxtəliftərəfli üçbucaq	Bərabəryanlı üçbucaq	Bərabərtərəfli üçbucaq

• Bütün bucaqları iti bucaq (90-dərəcədən kiçik) olan üçbucağa itibucaqlı üçbucaq deyilir.
• Bir bucağı düz bucaq (90°-yə bərabər) olan üçbucağa düzbucaqlı üçbucaq deyilir. Üçbucağın yalnız bir bucağı düz bucaq ola bilər. Düzbucaqlı üçbucağın qalan iki bucağı iti (90°-dən az) bucaqdır.
• Bir bucağı kor bucaq (90°-dən böyük) olan üçbucağa korbucaqlı üçbucaq deyilir. Üçbucağın yalnız bir bucağı kor bucaq ola bilər. Korbucaqlı üçbucağın qalan iki bucağı iti bucaqdır.
• İki tərəfi bərabər olan üçbucağa bərabəryanlı üçbucaq deyilir.
• Tərəflərinin üçü də bərabər olan üçbucağa bərabərtərəfli (yaxud düzgün üçbucaq) deyilir. Bucaqlarının üçü də 60°-ə bərabərdir.
• Üçbucağın xarici bucaqlarının cəmi 360°-dir.
• Üçbucağın böyük bucaq qarşısındakı tərəfi kiçik bucaq qarşısındakı tərəfdən böyük olur.
• Üçbucağın hər hansı bir tərəfinin uzunluğu digər iki tərəfin uzunluqları cəmindən kiçik, fərqindən isə böyükdür (bu üçbucaq bərabərsizliyi adlanır):

 ${\displaystyle |b-c|<a<b+c}$ ${\textstyle |c-a|<b<c+a}$ ${\displaystyle |a-b|<c<a+b}$ 

• Üçbucağın tənbölənləri bir nöqtədə kəsişir.
• Üçbucağın medianları bir nöqtədə kəsişir.

Üçbucağın sahəsi

${\displaystyle \triangle ABC}$ üçbucağının sahəsi ${\displaystyle S_{\triangle ABC}}$ ilə işarə olunur.

• 1-ci düstur:

 ${\displaystyle S_{\triangle ABC}={1 \over 2}ah}$ 

və ya

 ${\displaystyle S_{\triangle ABC}=ah:2}$ 

Üçbucağın sahəsi, tərəfinin uzunluğu ilə bu tərəfə çəkilmiş olan hündürlüyü hasilinin yarısına bərabərdir.

• 2-ci düstur (Heron düsturu):

 ${\displaystyle p={(a+b+c) \over 2}}$ (yarımperimetr) ${\displaystyle S_{\triangle ABC}={\sqrt {p(p-a)(p-b)(p-c)}}={1 \over 4}\square {(a+b+c)(b+c-a)(a+c-b)(a+b-c)}}$ — Heron düsturu 

• 3-cü düstur

${\displaystyle S_{\triangle ABC}}$-də tərəflər ${\displaystyle a,b,c,}$ bu tərəflərin qarşısındakı bucaqlar isə uyğun olaraq α, β, γ olarsa,

1) ${\displaystyle S_{\triangle ABC}={\frac {a\cdot b\cdot sin\gamma }{2}}}$

2) ${\displaystyle S_{\triangle ABC}={\frac {a\cdot c\cdot sin\beta }{2}}}$

• Əgər ${\displaystyle \triangle ABC}$ üçbucağı tərəfləri ${\displaystyle a}$ olmaqla bərabərtərəflidirsə, onda

 ${\displaystyle S_{\triangle ABC}={\frac {a^{2}{\sqrt {3}}}{4}}}$ 

• Əgər ${\displaystyle \triangle ABC}$ üçbucağının daxilinə çəkilmiş çevrənin radiusunu ${\displaystyle r}$, xaricinə çəkilmiş çevrənin radiusunu ${\displaystyle R}$, perimetrini isə ${\displaystyle P}$ ilə işarə etsək, onda

1) ${\displaystyle S_{\triangle ABC}={\frac {1}{2}}Pr}$

2) ${\displaystyle S_{\triangle ABC}={\frac {abc}{4R}}}$

• Əgər ${\displaystyle \triangle ABC}$ üçbucağı düzbucaqlı üçbucaq, katetləri isə ${\displaystyle a}$ və ${\displaystyle b}$-dirsə, onda

 ${\displaystyle S_{\triangle ABC}={\frac {1}{2}}ab}$ 

Üçbucağın əsas elementlərinin tapılması üçün düsturlar

${\displaystyle \triangle ABC}$ üçbucağının tərəflərini ${\displaystyle a,b}$ və ${\displaystyle c}$, yarımperimetrini ${\displaystyle p}$ (${\displaystyle p={\frac {a+b+c}{2}}}$), ${\displaystyle a}$ tərəfinə çəkilmiş medianını ${\displaystyle m_{a}}$, tənbölənini ${\displaystyle l_{a}}$, hündürlüyünü isə ${\displaystyle h_{a}}$ ilə işarə etsək, onda

 ${\displaystyle l_{a}={\frac {2}{b+c}}{\sqrt {pbc(p-a)}}}$ 

 ${\displaystyle m_{a}={\frac {1}{2}}{\sqrt {2(b^{2}+c^{2})-a^{2}}}}$ 

 ${\displaystyle h_{a}={\sqrt {c^{2}-({\frac {a^{2}+c^{2}-b^{2}}{2a}})^{2}}}}$ 

${\displaystyle c}$ və ${\displaystyle b}$-ni 3-cü düsturda elə yerinə qoymaq lazımdır ki, kökaltı ifadə müsbət olsun.

Ədəbiyyat

• Riyaziyyat, qəbul imtahanlarına hazırlaşanlar, yuxarı sinif şagirdləri, və müəllimlər üçün dərs vəsaiti, M. H. Yaqubov, İ. M. Abdullayev və b. Bakı-2008.
• Cəbr-həndəsə düsturları, S. X. Rüstəmov, S. S. Rüstəmov, Z. E. Rüstəmova, Xətai kursları, Bakı-2011.