Teylor açılımı

Teylor sırası — riyaziyyatda bir funksiyanın, o funksiyanın həddlərinin bir nöqtədəki törəmələrinin qiymətlərindən hesablanan sonsuz toplamı şəklində yazılması formasında açılımdır. Adını ingilis riyaziyyatçı Bruk Teylordan almışdır. Əgər sıra sıfır mərkəzlidirsə (${\displaystyle a=0}$), Teylor sırası daha sadə bir hal alar və bu xüsusi hala şotland riyaziyyatçı istinad olaraq Maklaren sırası deyilir. Bir silsilənin hədlərindən sonlu bir say qədərini istifadə etmək bu silsiləni bir funksiyaya yığmaq üçün ümumi bir üsuldur.

Teylor çoxhədlisinin dərəcəsi artdıqca, düz funksiyaya getdikcə yaxınlaşır. Bu şəkil ${\displaystyle \sin x}$ (sinus funksiyasını: qara ilə) və müxtəlif dərəcələrdən olan Teylor açılımlarını (1, 3, 5, 7, 9, 11 və 13) göstərir.

Eksponent (qüvvət) funksiyası (mavi ilə göstərilən) və bu funksiyanın a=0 qiymətindəki Teylor sırasının ilk n+1 həddinin cəmi (qırmızı ilə göstərilən).

Hər dərəcədən törəməsi olan, həqiqi ya da kompleks bir ${\displaystyle f(x)}$ funskiyasının a həqiqi ya da kompleks bir ədəd olmaq şərtilə ${\displaystyle (a-r,a+r)}$ intervalındakı Teylor sırası aşağıdakı şəkildə təyin edilir tanımlanmıştır:

${\displaystyle f(x)=f(a)+{\frac {f'(a)}{1!}}(x-a)+{\frac {f''(a)}{2!}}(x-a)^{2}+\ldots +{\frac {f^{(n)}(a)}{n!}}(x-a)^{n}+\ldots }$

Daha nizamlı bir forma olan Siqma təqdimatı ilə isə belə yazılır:

${\displaystyle =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {f^{(n)}(a)}{n!}}(x-a)^{n}}$

Burada ${\displaystyle n!}$, n faktorialı; ƒ ⁽ⁿ⁾(a) isə f funksiyasının n-ci dərəcədən törəməsinin a nöqtəsindəki qiymətini bildirir. f funksiyasının sıfırıncı dərəcədə n törəməsi f'-in özü ilə təyin edilir və (x − a)⁰ və 0!, 1-ə bərabər olaraq qəbul edilir.

Xüsusi halda ${\displaystyle a=0}$ olduqda Teylor sırası

${\displaystyle f(x)=f(0)+{\frac {f'(0)}{1!}}(x)+{\frac {f''(0)}{2!}}(x)^{2}+\ldots +{\frac {f^{(n)}(0)}{n!}}(x)^{n}+\ldots }$

şəklinə düşür. Bu bərabərliyin sağ tərəfindəki sıra adlanır, bərabərlik isə ${\displaystyle f(x)}$ funskiyasının Makloren sırasına ayrılmasıdır.

Aşağıda Teylor sırasının bir neçə nümunəsi verilib:

${\displaystyle e^{x}=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {x^{(k)}}{k!}}=1+x+x^{2}/2!+x^{3}/3!+.....,|x|<\infty }$

${\displaystyle \sin \left(x\right)=\sum _{k=0}^{\infty }(-1)^{k}{\frac {x^{(2k+1)}}{(2k+1)!}}\approx x-{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}-{\frac {x^{7}}{7!}}.\!....,|x|<\infty }$

${\displaystyle \cos \left(x\right)=\sum _{k=0}^{\infty }(-1)^{k}{\frac {x^{(2k)}}{2k!}}\approx 1-{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}-{\frac {x^{6}}{6!}}.\!....,|x|<\infty }$

${\displaystyle {\frac {1}{1-x}}=\sum _{k=0}^{\infty }x^{n}=1+x+x^{2}+x^{3}+x^{4}+....,|x|<1}$