Qeyri-səlis çoxluq

Qeyri-səlis çoxluq (və ya əlamətsiz çoxluq) anlayışı, çoxluq anlayışının element olmanın qiymətləndirilməsinə söykənən ümumiləşdirmədir. Qeyri-səlis çoxluq əlamətsiz məntiqin təbii bir ümumiləşməsi olaraq 1965-ci ildə Lütfi Zadə tərəfindən isbat edilmişdir. Bir obyekt bir çoxluğun ya elementi ya da elementi olmadığı halda, bir qeyri-səlis çoxluğun müəyyən bir nisbətdə qismən elementi ola bilər.

Təsvir

${\displaystyle X}$  sıfırdan fərqli bir universal çoxluq olaraq seçilsin. Bir ${\displaystyle A:X\to [0,1]}$  funksiyasına ${\displaystyle X}$  üzərində bir qeyri-səlis çoxluq adı verilir.

Qeyri-səlis çoxluq müxtəlif cür də göstərilə bilər ancaq çoxluğun hər nöqtə üçün ${\displaystyle [0,1]}$  aralığında (qapalı) bir qiymət alması baxımından bu təsvirlərin hamısı bir-birinə bərabərdir..

Bir ${\displaystyle x}$ ∈${\displaystyle X}$  elementi üçün ${\displaystyle A(x)}$  qiymətinə ${\displaystyle x}$ -in A-dakı elementlik dərəcəsi deyilir. Bu qiymət kimi zaman ${\displaystyle \mu _{A}(x)}$  ilə də göstərilir. ${\displaystyle A(x)=1}$  olması klassik çoxluq anlayışında ${\displaystyle x}$  -in ${\displaystyle A}$ -nın elementi olması, ${\displaystyle A(x)=0}$  olması isə klassik çoxluqlarda ${\displaystyle x}$  -in ${\displaystyle A}$ -nın elementi olmaması mənasına gəlir.

Əgər ${\displaystyle x}$  üçün ${\displaystyle A(x)=\alpha }$  isə ${\displaystyle x}$ ∈^α${\displaystyle A}$  yazılır və ${\displaystyle x}$ -in ${\displaystyle A}$  qeyri-səlis çoxluğunun ${\displaystyle \alpha }$  dərəcəsində elementi olduğu deyilir.

Məsələn ${\displaystyle A(x)=0,5}$  yəni, ${\displaystyle x}$ ∈^0,5${\displaystyle A}$  olması ${\displaystyle x}$ -in ${\displaystyle A}$ -nın yarı-yarıya elementi olması şəklində göstərilir. ∈¹ klassik ∈, ∈⁰ klassik ∉ simvoluna qarşılıq gəlir.

Qeyri-səlis alt çoxluq

${\displaystyle A}$  və ${\displaystyle B}$  boş olmayan bir ${\displaystyle X}$  çoxluğu üzərində iki qeyri-səlis çoxluq olsun. Hər ${\displaystyle x\in X}$  üçün ${\displaystyle A(x)\leq B(x)}$  olursa ${\displaystyle A\subseteq B}$  və ya ${\displaystyle A\leq B}$  yazılır və ${\displaystyle A}$ -nın ${\displaystyle B}$  -nin bir qeyri-səlis alt çoxluğu olduğu deyilir. ${\displaystyle A}$  və ${\displaystyle B}$  qeyri-səlis çoxluğun bərabərliyi, hər ${\displaystyle x}$  ∈ ${\displaystyle X}$  üçün ${\displaystyle A(x)=B(x)}$  olması ilə göstərilir. Buna görə ${\displaystyle A}$ -nın ${\displaystyle B}$ yə bərabər olması eyni zamanda həm ${\displaystyle A\subseteq B}$  həm də ${\displaystyle B\subseteq A}$  olması deməkdir.

${\displaystyle X}$  üzərindəki bütün qeyri-səlis çoxluğu hər ${\displaystyle x}$ ∈${\displaystyle X}$  üçün ${\displaystyle X(x)=1}$  ilə göstərilən ${\displaystyle X}$  qeyri-səlis alt çoxluğu ikən, hər ${\displaystyle x}$ ∈${\displaystyle X}$  üçün ${\displaystyle \varnothing (x)=0}$  ilə göstərilən ${\displaystyle \varnothing }$  qeyri-səlis çoxluğu ${\displaystyle X}$ dəki bütün qeyri-səlis çoxluğun alt çoxluğudur. Bəzən ${\displaystyle X}$  və ${\displaystyle \varnothing }$  simvolları yerinə sırasıyla ${\displaystyle 1_{X}}$  və ${\displaystyle 0_{X}}$  və ya qısaca ${\displaystyle 1}$  və ${\displaystyle 0}$  istifadə edilir.

Qeyri-səlis çoxluq üzərində əməliyyatlar

Çoxluqlar üçün qəbul edilən birləşmə, kəsişmə, karteziyan vurması kimi əməliyyatların hamısı qeyri-səlis çoxluğada şamil edilir. İki bulanık kümenin birleşimi ${\displaystyle A\cup B}$  veya ${\displaystyle A\lor B}$  ile gösterilir ve bu kümeye eleman olma dərəcəsi hər ${\displaystyle x}$ ∈${\displaystyle X}$  için ${\displaystyle (A\cup B)(x)=maks\{A(x),B(x)\}}$  olarak tanımlanır.

İki qeyri-səlis çoxluğun birləşməsi ${\displaystyle A\cup B}$  və ya ${\displaystyle A\lor B}$  ilə göstərilir ve bu çoxluğa element olma dərəcəsi hər ${\displaystyle x}$ ∈${\displaystyle X}$  üçün ${\displaystyle (A\cup B)(x)=maks\{A(x),B(x)\}}$  olaraq göstərilir.

İki qeyri-səlis çoxluğun kəsişməsi isə ${\displaystyle A\cap B}$  və ya ${\displaystyle A\land B}$  ilə göstərilir və bu çoxluğa element olma dərəcəsi hər ${\displaystyle x}$ ∈${\displaystyle X}$  üçün ${\displaystyle (A\cap B)(x)=min\{A(x),B(x)\}}$  olaraq göstərilir.

${\displaystyle A}$  və ${\displaystyle B}$  sırasıyla ${\displaystyle X}$  və ${\displaystyle Y}$  çoxluğu üzərində qeyri-səlis çoxluqlar isə ${\displaystyle A\times B}$  də ${\displaystyle X\times Y}$  üzərində bir qeyri-səlis çoxluqdur və hər ${\displaystyle (x,y)\in X\times Y}$  üçün ${\displaystyle (A\times B)(x,y)=min\{A(x),B(y)\}}$  şəklində göstərilir.

İki çoxluq üçün göstərilən bu əməliyyatlar maksimum və minimum yerinə sırasıyla supremum və infimum alınaraq hər hansı sayıdakı qeyri-səlis çoxluq ailəsinə genişləndirilə bilər.

Həmçinin bax

• Qeyri-səlis məntiq

• Çoxluq