Bernoulli diferensial tənliyi

Riyaziyyatda, ${\displaystyle y'+P(x)y=Q(x)y^{n}}$ formasında yazılan adi diferensial tənliyə Bernoulli diferensial tənliyi deyilir.

Burada ${\displaystyle n}$, 0 və ya 1-dən başqa hər hansı bir real sayıdır. 1695-ci ildə bunu müzakirə edən Yakob Bernulli adını daşıyır. Bernoulli tənlikləri özəl tənliklərdir, çünki məlum dəqiq həlləri olan xətti olmayan diferensial tənliklərdir. Bernoulli tənliyinin məşhur bir özəl hali logistik differensial tənliyidir .

Xətti diferensial tənliyə çevrilmə

${\displaystyle n=0}$  olduğu hal üçün diferensial tənlik xəttidir. ${\displaystyle n=1}$  olarsa ayrıla bilər haldadır. Bu hallarda, bu formaların tənliklərini həll etmək üçün standart üsullar tətbiq edilə bilər. ${\displaystyle n\neq 0}$  və ${\displaystyle n\neq 1}$  olduqda ${\displaystyle u=y^{1-n}}$  yerləşdirilirsə hər hansı bir Bernoulli tənliyini xətti diferensial tənliyə endirilir. Məsələn, ${\displaystyle n=2}$  də, ${\displaystyle u=y^{-1}}$  yerləşdirilirsə, ${\displaystyle {\frac {dy}{dx}}+{\frac {1}{x}}y=xy^{2}}$  diferensial tənliyindən ${\displaystyle {\frac {du}{dx}}-{\frac {1}{x}}u=-x}$  xətti diferensial tənliyi d əldə edilir.

Həll

Qoy ${\displaystyle x_{0}\in (a,b)}$  və

${\displaystyle \left\{{\begin{array}{ll}z:(a,b)\rightarrow (0,\infty )\ ,&{\textrm {if}}\ \alpha \in \mathbb {R} \setminus \{1,2\},\\z:(a,b)\rightarrow \mathbb {R} \setminus \{0\}\ ,&{\textrm {if}}\ \alpha =2,\\\end{array}}\right.}$ 

xətti diferensial tənliyin bir həlli olsun

${\displaystyle z'(x)=(1-\alpha )P(x)z(x)+(1-\alpha )Q(x).}$ 

Onda bizdə ${\displaystyle y(x):=[z(x)]^{\frac {1}{1-\alpha }}}$  var ki aşağıdakının bir həllidir

${\displaystyle y'(x)=P(x)y(x)+Q(x)y^{\alpha }(x)\ ,\ y(x_{0})=y_{0}:=[z(x_{0})]^{\frac {1}{1-\alpha }}.}$ 

Və bütün fərqli diferensial tənliklər üçün, bütün ${\displaystyle \alpha >0}$  üçün bizdə ${\displaystyle y\equiv 0}$  var ki ${\displaystyle y_{0}=0}$  üçün həllidir.

Nümunə

Bernoulli tənliyini nəzərdən keçirək

${\displaystyle y'-{\frac {2y}{x}}=-x^{2}y^{2}}$ 

(bu vəziyyətdə daha konkret olaraq Riccati tənliyi ). ${\displaystyle y=0}$  sabit funksiyası bir həlldir. ${\displaystyle y^{2}}$  bölünməsiylə

${\displaystyle y'y^{-2}-{\frac {2}{x}}y^{-1}=-x^{2}}$ 

Dəyişən dəyişənlər aşağıdakı tənlikləri verir

${\displaystyle w={\frac {1}{y}}}$ 

${\displaystyle w'={\frac {-y'}{y^{2}}}.}$ 

${\displaystyle -w'-{\frac {2}{x}}w=-x^{2}}$ 

${\displaystyle w'+{\frac {2}{x}}w=x^{2}}$ 

inteqrasiya amili istifadə edərək həll edilə bilər

${\displaystyle M(x)=e^{2\int {\frac {1}{x}}\,dx}=e^{2\ln x}=x^{2}.}$ 

İlə çarparaq ${\displaystyle M(x)}$  ,

${\displaystyle w'x^{2}+2xw=x^{4},\,}$ 

Sol tərəf ${\displaystyle wx^{2}}$  törəməsidir. Hər iki tərəfi ${\displaystyle x}$ 'e görə inteqrasiya etmək aşağıdakılara səbəb olur

${\displaystyle \int w'x^{2}+2xw\,dx=\int x^{4}\,dx}$ 

${\displaystyle wx^{2}={\frac {1}{5}}x^{5}+C}$ 

${\displaystyle {\frac {1}{y}}x^{2}={\frac {1}{5}}x^{5}+C}$ 

${\displaystyle y}$  üçün həll

${\displaystyle y={\frac {x^{2}}{{\frac {1}{5}}x^{5}+C}}}$ 

dır.

İstinadlar

• Bernulli, Yakob, "Explicationes, Annotationes & Additiones ad ea, quae in Actis sup. de Curva Elastica, Isochrona Paracentrica, & Velaria, hinc inde memorata, & paratim controversa legundur; ubi de Linea mediarum directionum, alliisque novis", Acta Eruditorum, 1695
• Hairer, Ernst; Nørsett, Syvert Paul; Wanner, Gerhard, Solving ordinary differential equations I: Nonstiff problems, Berlin, New York: Springer-Verlag, 1993, ISBN 978-3-540-56670-0

1. Weisstein, Eric W. "Bernoulli Differential Equation." From MathWorld--A Wolfram Web Resource. ^{[daha etibarlı mənbəyə ehtiyac var]}