Bernoulli diferensial tənliyi

Riyaziyyatda, ${\displaystyle y'+P(x)y=Q(x)y^{n}}$ formasında yazılan adi diferensial tənliyə Bernoulli diferensial tənliyi deyilir.

Burada ${\displaystyle n}$, 0 və ya 1-dən başqa hər hansı bir real sayıdır. 1695-ci ildə bunu müzakirə edən Yakob Bernulli adını daşıyır. Bernoulli tənlikləri özəl tənliklərdir, çünki məlum dəqiq həlləri olan xətti olmayan diferensial tənliklərdir. Bernoulli tənliyinin məşhur bir özəl hali logistik differensial tənliyidir .

Xətti diferensial tənliyə çevrilmə

${\displaystyle n=0}$ olduğu hal üçün diferensial tənlik xəttidir. ${\displaystyle n=1}$ olarsa ayrıla bilər haldadır. Bu hallarda, bu formaların tənliklərini həll etmək üçün standart üsullar tətbiq edilə bilər. ${\displaystyle n\neq 0}$ və ${\displaystyle n\neq 1}$ olduqda ${\displaystyle u=y^{1-n}}$ yerləşdirilirsə hər hansı bir Bernoulli tənliyini xətti diferensial tənliyə endirilir. Məsələn, ${\displaystyle n=2}$ də, ${\displaystyle u=y^{-1}}$ yerləşdirilirsə, ${\displaystyle {\frac {dy}{dx}}+{\frac {1}{x}}y=xy^{2}}$ diferensial tənliyindən ${\displaystyle {\frac {du}{dx}}-{\frac {1}{x}}u=-x}$ xətti diferensial tənliyi d əldə edilir.

Həll

Qoy ${\displaystyle x_{0}\in (a,b)}$ və

${\displaystyle \left\{{\begin{array}{ll}z:(a,b)\rightarrow (0,\infty )\ ,&{\textrm {if}}\ \alpha \in \mathbb {R} \setminus \{1,2\},\\z:(a,b)\rightarrow \mathbb {R} \setminus \{0\}\ ,&{\textrm {if}}\ \alpha =2,\\\end{array}}\right.}$

xətti diferensial tənliyin bir həlli olsun

${\displaystyle z'(x)=(1-\alpha )P(x)z(x)+(1-\alpha )Q(x).}$

Onda bizdə ${\displaystyle y(x):=[z(x)]^{\frac {1}{1-\alpha }}}$ var ki aşağıdakının bir həllidir

${\displaystyle y'(x)=P(x)y(x)+Q(x)y^{\alpha }(x)\ ,\ y(x_{0})=y_{0}:=[z(x_{0})]^{\frac {1}{1-\alpha }}.}$

Və bütün fərqli diferensial tənliklər üçün, bütün ${\displaystyle \alpha >0}$ üçün bizdə ${\displaystyle y\equiv 0}$ var ki ${\displaystyle y_{0}=0}$ üçün həllidir.

Nümunə

Bernoulli tənliyini nəzərdən keçirək

${\displaystyle y'-{\frac {2y}{x}}=-x^{2}y^{2}}$

(bu vəziyyətdə daha konkret olaraq Riccati tənliyi ). ${\displaystyle y=0}$ sabit funksiyası bir həlldir. ${\displaystyle y^{2}}$ bölünməsiylə

${\displaystyle y'y^{-2}-{\frac {2}{x}}y^{-1}=-x^{2}}$

Dəyişən dəyişənlər aşağıdakı tənlikləri verir

${\displaystyle w={\frac {1}{y}}}$

${\displaystyle w'={\frac {-y'}{y^{2}}}.}$

${\displaystyle -w'-{\frac {2}{x}}w=-x^{2}}$

${\displaystyle w'+{\frac {2}{x}}w=x^{2}}$

inteqrasiya amili istifadə edərək həll edilə bilər

${\displaystyle M(x)=e^{2\int {\frac {1}{x}}\,dx}=e^{2\ln x}=x^{2}.}$

İlə çarparaq ${\displaystyle M(x)}$ ,

${\displaystyle w'x^{2}+2xw=x^{4},\,}$

Sol tərəf ${\displaystyle wx^{2}}$ törəməsidir. Hər iki tərəfi ${\displaystyle x}$'e görə inteqrasiya etmək aşağıdakılara səbəb olur

${\displaystyle \int w'x^{2}+2xw\,dx=\int x^{4}\,dx}$

${\displaystyle wx^{2}={\frac {1}{5}}x^{5}+C}$

${\displaystyle {\frac {1}{y}}x^{2}={\frac {1}{5}}x^{5}+C}$

${\displaystyle y}$ üçün həll

${\displaystyle y={\frac {x^{2}}{{\frac {1}{5}}x^{5}+C}}}$

dır.

İstinadlar

• Bernulli, Yakob, "Explicationes, Annotationes & Additiones ad ea, quae in Actis sup. de Curva Elastica, Isochrona Paracentrica, & Velaria, hinc inde memorata, & paratim controversa legundur; ubi de Linea mediarum directionum, alliisque novis", , 1695
• Hairer, Ernst; Nørsett, Syvert Paul; Wanner, Gerhard, Solving ordinary differential equations I: Nonstiff problems, Berlin, New York: , 1993, ISBN 

1. Weisstein, Eric W. "Bernoulli Differential Equation. 2021-05-07 at the Wayback Machine" From MathWorld--A Wolfram Web Resource. ^[]