Statistik mexanika ing Statistical mechanics mikroskopik hissəciklərin atomlar molekullar və s kollektiv davranışlarını

Statistik mexanika (ing. Statistical mechanics) — mikroskopik hissəciklərin (atomlar, molekullar və s.) kollektiv davranışlarını və bu davranışların makroskopik fiziki sistemlərdə (məsələn, qazlar, bərk cisimlər, mayelər) necə təzahür etdiyini izah edən fizika sahəsi. Statistik mexanika klassik mexanika və kvant mexanikası ilə statistika və ehtimal nəzəriyyəsini birləşdirərək termodinamika qanunlarının mikroskopik əsaslarını yaradır.

Statistik mexanika, fiziki sistemin mikrohallarını nəzərə alaraq onun makroskopik davranışını proqnozlaşdırmaq məqsədi daşıyır. Bu yanaşma sayəsində entropiya, temperatur, təzyiq kimi anlayışlar molekulyar səviyyədə izah edilə bilir. Sistemlər tipik olaraq çoxlu sayda hissəcikdən ibarət olur (məsələn, 10²³ atom) və bu hissəciklərin mümkün halları statistik metodlarla təhlil olunur.

Statistik mexanika klassik termodinamikanın inkişafı nəticəsində yaranmışdır, burada temperatur, təzyiq və istilik tutumu kimi makroskopik fiziki xassələri orta dəyərlər ətrafında dəyişən və ehtimal paylamaları ilə xarakterizə olunan mikroskopik parametrlər baxımından uğurla izah etmişdir.

Klassik termodinamika ilk növbədə termodinamik tarazlıqla məşğul olduğu halda, qeyri-tarazlıq statistik mexanikasında disbalansın səbəb olduğu dönməz proseslərin sürətlərinin mikroskopik modelləşdirilməsi suallarına tətbiq edilir. Belə proseslərə misal olaraq kimyəvi reaksiyalar, hissəcik axınları və istilik axınlarını göstərmək olar. Fluktuasiya-dissipasiya teoremi çoxlu hissəciklərdən ibarət sistemdə stasionar cərəyanın ən sadə qeyri-tarazlıq vəziyyətinin öyrənilməsi üçün qeyri-tarazlıq statistik mexanikasının tətbiqi ilə əldə edilən əsas bilikdir.

Tarixi

Statistik mexanikanın tarixi XIX əsrin ortalarından başlayaraq klassik mexanika və termodinamika arasında körpü qurmaq cəhdləri ilə formalaşmağa başlamışdır. Bu sahənin inkişafı əsasən qazların davranışlarını və mikroskopik əsaslarını anlamaq məqsədilə aparılan tədqiqatlarla əlaqəlidir.Rudolf Klauzius, Ceyms Klark Maksvell və Lüdviq Bolsman kimi alimlər inkişaf etdirdilər. Bu nəzəriyyəyə əsasən, qazlar çoxlu sayda hissəcikdən ibarətdir və onların təsadüfi hərəkəti nəticəsində təzyiq və temperatur kimi makroskopik dəyişənlər yaranır. Maksvell 1860-cı illərdə qaz molekullarının sürət paylanmasını (Maksvel paylanması) təqdim etdi. Bolsman isə entropiya anlayışını mikroskopik səviyyədə izah etməyə çalışdı və onun məşhur S = k log W düsturu entropiyanın statistik mənasını verdi.

Cozayya Uillard Gibbsin “*Elementary Principles in Statistical Mechanics*” əsəri

Cozayya Uillard Gibbs statistik mexanikanın riyazi əsaslarını formalaşdırdı. O, təqdim edərək müxtəlif fiziki sistemlərin termodinamik parametrlərini izah edən statistika toplusunu müəyyənləşdirdi (mikrokanyonik, kanonik və böyük kanonik ansambl). Gibbsin 1902-ci ildə nəşr etdiyi “Elementary Principles in Statistical Mechanics” əsəri sahənin əsas təməl kitabı sayılır. Bolsmanın dövründə onun statistik entropiya yanaşması elmi ictimaiyyət tərəfindən geniş şəkildə qəbul edilməmişdi. Xüsusilə Ernst Zermelo və digərləri Puankare əksərilik teoreminə əsaslanaraq entropiyanın artım qanununa şübhə ilə yanaşırdılar. Bolsman 1906-cı ildə vəfat etdikdən sonra onun ideyaları geniş şəkildə qəbul olunmağa başladı.

XX əsrin əvvəllərində kvant mexanikasının formalaşması ilə statistik mexanika yeni istiqamətlərə yönəldi.Albert Eynşteyn və Satyendra Nat Bose tərəfindən 1924-cü ildə təqdim edildi. Enriko Fermi və Pol Dirak isə Fermi–Dirak statistikasını formalaşdıraraq fermionların davranışını izah etdilər. Bu statistikalar sayəsində aşağı temperaturda və yüksək sıxlıqlı sistemlərin mikroskopik davranışı anlaşıldı. Statistik mexanika qraf nəzəriyyəsi, və faza keçidləri kimi sahələrdə mühüm rol oynadı. Lev Landau faza keçidlərinin nəzəri modelini yaratdı və bu model daha sonra yanaşması ilə zənginləşdirildi. , və maddənin maqnetik və istilik xassələrini izah etməkdə istifadə olundu. XX əsrin sonu və XXI əsrin əvvəllərində statistik mexanika , , və kimi yeni sahələrdə tətbiq olunmağa başladı. və metodları statistik mexanikanın tətbiqini genişləndirdi. Eyni zamanda ilə statistik mexanika arasında əlaqələr araşdırılır. Statistik mexanika həm fundamental fizikanın əsas dayağı, həm də real sistemlərin davranışını izah edən praktik vasitə kimi elm tarixində öz əhəmiyyətli yerini qoruyur. Onun inkişafı termodinamika, kvant fizikası, materialşünaslıq və biologiya kimi sahələrə töhfə vermişdir.

Statistik termodinamika

Statistik termodinamika (ing. Statistical thermodynamics) — statistik mexanika və termodinamikanın birləşməsindən yaranan elmi sahə. O, fiziki sistemlərin makroskopik xassələrini (məsələn, temperatur, təzyiq, entalpiya, entropiya) onların mikroskopik quruluşuna və hissəciklərin statistik davranışına əsaslanaraq izah edir. Bu sahə, xüsusilə termodinamik qanunların mənşəyini anlamağa imkan verir.

Fundamental postulat

Statistik termodinamikanın əsas postulatı ondan ibarətdir ki, verilmiş üçün uyğun gələn bütün bərabər ehtimalla baş verə bilər. Bu postulatdan çıxış edərək makroskopik dəyişənlərin orta qiymətləri hesablana bilər. Bu yanaşma vasitəsilə, və digər müşahidə olunan dəyərlər mikroskopik dəyişənlərin ehtimal paylanmaları ilə ifadə olunur.

Üç əsas termodinamik ansambl

Statistik termodinamika müxtəlif şərtlər üçün fərqli istifadə edir. Əsas ansambl növləri aşağıdakılardır:

Mikrokanyonik ansambl (NVE) — enerji, hissəcik sayı və həcmi sabit olan sistemlər üçün istifadə olunur.
Kanonik ansambl (NVT) — temperatur, hissəcik sayı və həcmi sabit qalır. Bu ansambl istilik hamamı ilə enerji mübadiləsi edən sistemlər üçün uyğundur.
Böyük kanonik ansambl (µVT) — temperatur, kimyəvi potensial və həcmi sabit qalmaqla hissəcik sayı dəyişə bilər. Bu ansambl açıq sistemlərin modelləşdirilməsi üçün uyğundur.

Termodinamik ansambllar

Sabit dəyişənlər	$E,N,V$	$T,N,V$	$T,\mu ,V$
Mikroskopik xüsusiyyətlər	sayı
Mikroskopik xüsusiyyətlər	$W$	$Z=\sum _{k}e^{-E_{k}/k_{B}T}$	${\mathcal {Z}}=\sum _{k}e^{-(E_{k}-\mu N_{k})/k_{B}T}$
Makroskopik funksiya
Makroskopik funksiya	$S=k_{B}\log W$	$F=-k_{B}T\log Z$	$\Omega =-k_{B}T\log {\mathcal {Z}}$

Hesablama üsulları

Verilmiş sistem üçün ansambl hal xarakteristikası funksiyası hesablandıqdan sonra sistemin “həll edildiyi” deyilir (makroskopik müşahidə olunanlar hal xarakteristika funksiyasından çıxarıla bilər). Bununla belə, termodinamik ansamblın hal xarakteristikası funksiyasının hesablanması həmişə asan məsələ deyil, çünki sistemin bütün mümkün vəziyyətlərini nəzərə almaq lazımdır. Bəzi fərziyyə sistemləri tam olaraq həll olunsa da, ən ümumi (və real) vəziyyət dəqiq həll oluna bilməyəcək qədər mürəkkəbdir. Həqiqi ansamblı təxmin etmək və ortalamaları hesablamaq üçün müxtəlif yanaşmalar mövcuddur.

Dəqiq metodlar

Sadə sistemlər üçün mikrohaların tam sayını hesablamaqla bütün termodinamik funksiyalar analitik şəkildə əldə edilə bilər. Məsələn:

(1 ölçülü hal üçün)

Monte-Karlo üsulları

Çoxlu mikrohalları təsadüfi üsullarla nümunə götürərək statistik təxmini nəticələr əldə etməyə əsaslanan güclü rəqəmsal yanaşmadır. Xüsusilə mürəkkəb və yüksəkölçülü sistemlər üçün effektivdir. bu sahədə ən geniş yayılmış texnikadır.

Tarazlıqda olmayan statistik mexanika

Tarazlıq vəziyyətindən uzaq olan sistemlərin davranışlarını izah etmək üçün statistik termodinamikanın qeyri-tarazlıq formaları inkişaf etdirilmişdir. Prinsip etibarilə, qeyri-tarazlıq statistik mexanika riyazi baxımdan tam dəqiq şəkildə ifadə oluna bilər. Təcrid olunmuş sistemlər üçün statistik ansamblın zamanla inkişafı və ya onun kvant analoqu olan ilə təsvir edilir. Bu tənliklər, sistemin mikrohallarının hər birinə uyğun olaraq klassik mexanika və ya kvant mexanikası qanunlarının tətbiqi nəticəsində əldə olunur.

Ansamblın təkamül tənlikləri sistemin əsas hərəkət qanunlarının mürəkkəbliyini əks etdirir və bu səbəbdən onların dəqiq analitik həlləri, ümumilikdə, çox çətindir. Bundan əlavə, bu tənliklər tərsinə çevriləbiləndir və prinsipi ilə işləyir — yəni zamanla sabit qalır və sistemin dinamikasında informasiya itmir.

Lakin real sistemlərdə müşahidə olunan modelləşdirilməsi üçün bu deterministik yanaşma kifayət etmir. Belə hallarda, ehtimala əsaslanan əlavə mexanizmlərin və ilə yanaşı, kimi müşahidə olunan makroskopik xüsusiyyətlərin izahı üçün əlavə statistik və ya fenomenoloji modellərin tətbiqi zəruri olur.

İstinadlar

Teschendorff, Andrew E.; Feinberg, Andrew P. "Statistical mechanics meets single-cell biology". Nature Reviews Genetics. 22 (7). July 2021: 459–476. doi:10.1038/s41576-021-00341-z. PMC 10152720 (#bad_pmc). PMID 33875884 (#bad_pmid).
Advani, Madhu; Lahiri, Subhaneil; Ganguli, Surya. "Statistical mechanics of complex neural systems and high dimensional data". Journal of Statistical Mechanics: Theory and Experiment. 2013 (3). 12 March 2013: P03014. arXiv:1301.7115. Bibcode:2013JSMTE..03..014A. doi:10.1088/1742-5468/2013/03/P03014.
Huang, Haiping. Statistical Mechanics of Neural Networks. 2021. doi:10.1007/978-981-16-7570-6. ISBN .
Berger, Adam L.; Pietra, Vincent J. Della; Pietra, Stephen A. Della. "A maximum entropy approach to natural language processing" (PDF). Computational Linguistics. 22 (1). March 1996: 39–71. .
Jaynes, E. T. "Information Theory and Statistical Mechanics". Physical Review. 106 (4). 15 May 1957: 620–630. Bibcode:1957PhRv..106..620J. doi:10.1103/PhysRev.106.620.
Durlauf, Steven N. "How can statistical mechanics contribute to social science?". Proceedings of the National Academy of Sciences. 96 (19). 14 September 1999: 10582–10584. Bibcode:1999PNAS...9610582D. doi:10.1073/pnas.96.19.10582. PMC 33748. PMID 10485867.
Huang, Kerson. Introduction to Statistical Physics (2nd). CRC Press. 2009-09-21. səh. 15. ISBN .
Germano, R. Física Estatística do Equilíbrio: um curso introdutório (Portuguese). Rio de Janeiro: Ciência Moderna. 2022. səh. 156. ISBN .
Reif, Frederick. Fundamentals of Statistical and Thermal Physics. McGraw–Hill. 1965. 651. ISBN .
Mahon, Basil. The Man Who Changed Everything – the Life of James Clerk Maxwell. Hoboken, NJ: Wiley. 2003. ISBN . OCLC 52358254.
Gyenis, Balazs. "Maxwell and the normal distribution: A colored story of probability, independence, and tendency towards equilibrium". Studies in History and Philosophy of Modern Physics. 57. 2017: 53–65. arXiv:1702.01411. Bibcode:2017SHPMP..57...53G. doi:10.1016/j.shpsb.2017.01.001.
James Clerk Maxwell ,Theory of Heat (London, England: Longmans, Green, and Co., 1871), p. 309
Mayants, Lazar. The enigma of probability and physics. Springer. 1984. səh. 174. ISBN .
Gibbs, J. W. On the Fundamental Formula of Statistical Mechanics, with Applications to Astronomy and Thermodynamics. 1885. OCLC 702360353.
Jaynes, E. "Information Theory and Statistical Mechanics". Physical Review. 106 (4). 1957: 620–630. Bibcode:1957PhRv..106..620J. doi:10.1103/PhysRev.106.620.
Gao, Xiang; Gallicchio, Emilio; Roitberg, Adrian E. "The generalized Boltzmann distribution is the only distribution in which the Gibbs-Shannon entropy equals the thermodynamic entropy". The Journal of Chemical Physics. 151 (3). 21 July 2019: 034113. arXiv:1903.02121. Bibcode:2019JChPh.151c4113G. doi:10.1063/1.5111333. PMID 31325924.
Gao, Xiang. "The Mathematics of the Ensemble Theory". Results in Physics. 34. March 2022: 105230. arXiv:2006.00485. Bibcode:2022ResPh..3405230G. doi:10.1016/j.rinp.2022.105230.
The Concentration of Measure Phenomenon (PDF). Mathematical Surveys and Monographs. 89. 2005. doi:10.1090/surv/089. ISBN .
Touchette, Hugo. "Equivalence and Nonequivalence of Ensembles: Thermodynamic, Macrostate, and Measure Levels". Journal of Statistical Physics. 159 (5). 2015: 987–1016. arXiv:1403.6608. Bibcode:2015JSP...159..987T. doi:10.1007/s10955-015-1212-2.
Gorban, A. N.; Tyukin, I. Y. "Blessing of dimensionality: mathematical foundations of the statistical physics of data". Philosophical Transactions of the Royal Society A: Mathematical, Physical and Engineering Sciences. 376 (2118). 28 April 2018: 20170237. arXiv:1801.03421. Bibcode:2018RSPTA.37670237G. doi:10.1098/rsta.2017.0237. PMC 5869543. PMID 29555807.
Baxter, Rodney J. Exactly solved models in statistical mechanics. Academic Press Inc. 1982. ISBN .
Jia, Xun; Ziegenhein, Peter; Jiang, Steve B. "GPU-based high-performance computing for radiation therapy". Physics in Medicine and Biology. 59 (4). 2014: R151–R182. Bibcode:2014PMB....59R.151J. doi:10.1088/0031-9155/59/4/R151. PMC 4003902. PMID 24486639.
Hill, R; Healy, B; Holloway, L; Kuncic, Z; Thwaites, D; Baldock, C. "Advances in kilovoltage x-ray beam dosimetry". Physics in Medicine and Biology. 59 (6). Mar 2014: R183–R231. Bibcode:2014PMB....59R.183H. doi:10.1088/0031-9155/59/6/R183. PMID 24584183.
Rogers, D W O. "Fifty years of Monte Carlo simulations for medical physics". Physics in Medicine and Biology. 51 (13). 2006: R287–R301. Bibcode:2006PMB....51R.287R. doi:10.1088/0031-9155/51/13/R17. PMID 16790908.
Gibbs, Josiah Willard. Elementary Principles in Statistical Mechanics. New York: Charles Scribner's Sons. 1902.
Altshuler, B L; Aronov, A G; Khmelnitsky, D E. "Effects of electron-electron collisions with small energy transfers on quantum localisation". Journal of Physics C: Solid State Physics. 15 (36). 30 December 1982: 7367–7386. Bibcode:1982JPhC...15.7367A. doi:10.1088/0022-3719/15/36/018.
Aleiner, I. L.; Blanter, Ya. M. "Inelastic scattering time for conductance fluctuations". Physical Review B. 65 (11). 28 February 2002: 115317. arXiv:cond-mat/0105436. Bibcode:2002PhRvB..65k5317A. doi:10.1103/PhysRevB.65.115317.
Ramezanpour, Abolfazl; Beam, Andrew L.; Chen, Jonathan H.; Mashaghi, Alireza. "Statistical Physics for Medical Diagnostics: Learning, Inference, and Optimization Algorithms". Diagnostics. 10 (11). 19 November 2020: 972. doi:10.3390/diagnostics10110972. PMC 7699346 (#bad_pmc). PMID 33228143 (#bad_pmid).
Mashaghi, Alireza; Ramezanpour, Abolfazl. "Statistical physics of medical diagnostics: Study of a probabilistic model". Physical Review E. 97 (3). 16 March 2018: 032118. arXiv:1803.10019. Bibcode:2018PhRvE..97c2118M. doi:10.1103/PhysRevE.97.032118. PMID 29776109.
Uffink, Jos. Compendium of the foundations of classical statistical physics (Preprint). March 2006.
Balescu, Radu. Equilibrium and Non-Equilibrium Statistical Mechanics. Wiley. 1975. ISBN .

Əlavə ədəbiyyat

Reif, F. Fundamentals of Statistical and Thermal Physics. Waveland Press. 2009. ISBN .
Müller-Kirsten, Harald J W. Basics of Statistical Physics (PDF). 2013. doi:10.1142/8709. ISBN .
Kadanoff, Leo P. "Statistical Physics and other resources". August 12, 2021 tarixində orijinalından arxivləşdirilib. İstifadə tarixi: June 18, 2023.
Kadanoff, Leo P. Statistical Physics: Statics, Dynamics and Renormalization. World Scientific. 2000. ISBN .
Flamm, Dieter. "History and outlook of statistical physics". 1998. arXiv:physics/9803005.

Xarici keçidlər

Vikianbarda Statistik mexanika ilə əlaqəli mediafayllar var.

Philosophy of Statistical Mechanics article by Lawrence Sklar for the Stanford Encyclopedia of Philosophy.
Sklogwiki - Thermodynamics, statistical mechanics, and the computer simulation of materials. SklogWiki is particularly oriented towards liquids and soft condensed matter.
Thermodynamics and Statistical Mechanics by Richard Fitzpatrick
Cohen, Doron. "Lecture Notes in Statistical Mechanics and Mesoscopics". 2011. arXiv:1107.0568 [quant-ph].
Videos of lecture series in statistical mechanics — YouTube platformasında taught by Leonard Susskind.
Vu-Quoc, L., Configuration integral (statistical mechanics), 2008. This wiki site is down; see this article in the web archive on 2012 April 28.

[1] Teschendorff, Andrew E.; Feinberg, Andrew P. "Statistical mechanics meets single-cell biology". Nature Reviews Genetics. 22 (7). July 2021: 459–476. doi:10.1038/s41576-021-00341-z. PMC 10152720 (#bad_pmc). PMID 33875884 (#bad_pmid).

[2] Advani, Madhu; Lahiri, Subhaneil; Ganguli, Surya. "Statistical mechanics of complex neural systems and high dimensional data". Journal of Statistical Mechanics: Theory and Experiment. 2013 (3). 12 March 2013: P03014. arXiv:1301.7115. Bibcode:2013JSMTE..03..014A. doi:10.1088/1742-5468/2013/03/P03014.

[3] Huang, Haiping. Statistical Mechanics of Neural Networks. 2021. doi:10.1007/978-981-16-7570-6. ISBN .

[4] Berger, Adam L.; Pietra, Vincent J. Della; Pietra, Stephen A. Della. "A maximum entropy approach to natural language processing" (PDF). Computational Linguistics. 22 (1). March 1996: 39–71. .

[5] Jaynes, E. T. "Information Theory and Statistical Mechanics". Physical Review. 106 (4). 15 May 1957: 620–630. Bibcode:1957PhRv..106..620J. doi:10.1103/PhysRev.106.620.

[6] Durlauf, Steven N. "How can statistical mechanics contribute to social science?". Proceedings of the National Academy of Sciences. 96 (19). 14 September 1999: 10582–10584. Bibcode:1999PNAS...9610582D. doi:10.1073/pnas.96.19.10582. PMC 33748. PMID 10485867.

[7] Huang, Kerson. Introduction to Statistical Physics (2nd). CRC Press. 2009-09-21. səh. 15. ISBN .

[8] Germano, R. Física Estatística do Equilíbrio: um curso introdutório (Portuguese). Rio de Janeiro: Ciência Moderna. 2022. səh. 156. ISBN .

[Reif-9] Reif, Frederick. Fundamentals of Statistical and Thermal Physics. McGraw–Hill. 1965. 651. ISBN .

[10] Mahon, Basil. The Man Who Changed Everything – the Life of James Clerk Maxwell. Hoboken, NJ: Wiley. 2003. ISBN . OCLC 52358254.

[11] Gyenis, Balazs. "Maxwell and the normal distribution: A colored story of probability, independence, and tendency towards equilibrium". Studies in History and Philosophy of Modern Physics. 57. 2017: 53–65. arXiv:1702.01411. Bibcode:2017SHPMP..57...53G. doi:10.1016/j.shpsb.2017.01.001.

[12] James Clerk Maxwell ,Theory of Heat (London, England: Longmans, Green, and Co., 1871), p. 309

[13] Mayants, Lazar. The enigma of probability and physics. Springer. 1984. səh. 174. ISBN .

[14] Gibbs, J. W. On the Fundamental Formula of Statistical Mechanics, with Applications to Astronomy and Thermodynamics. 1885. OCLC 702360353.

[15] Jaynes, E. "Information Theory and Statistical Mechanics". Physical Review. 106 (4). 1957: 620–630. Bibcode:1957PhRv..106..620J. doi:10.1103/PhysRev.106.620.

[Gao2019-16] Gao, Xiang; Gallicchio, Emilio; Roitberg, Adrian E. "The generalized Boltzmann distribution is the only distribution in which the Gibbs-Shannon entropy equals the thermodynamic entropy". The Journal of Chemical Physics. 151 (3). 21 July 2019: 034113. arXiv:1903.02121. Bibcode:2019JChPh.151c4113G. doi:10.1063/1.5111333. PMID 31325924.

[Gao2022-17] Gao, Xiang. "The Mathematics of the Ensemble Theory". Results in Physics. 34. March 2022: 105230. arXiv:2006.00485. Bibcode:2022ResPh..3405230G. doi:10.1016/j.rinp.2022.105230.

[18] The Concentration of Measure Phenomenon (PDF). Mathematical Surveys and Monographs. 89. 2005. doi:10.1090/surv/089. ISBN .

[19] Touchette, Hugo. "Equivalence and Nonequivalence of Ensembles: Thermodynamic, Macrostate, and Measure Levels". Journal of Statistical Physics. 159 (5). 2015: 987–1016. arXiv:1403.6608. Bibcode:2015JSP...159..987T. doi:10.1007/s10955-015-1212-2.

[20] Gorban, A. N.; Tyukin, I. Y. "Blessing of dimensionality: mathematical foundations of the statistical physics of data". Philosophical Transactions of the Royal Society A: Mathematical, Physical and Engineering Sciences. 376 (2118). 28 April 2018: 20170237. arXiv:1801.03421. Bibcode:2018RSPTA.37670237G. doi:10.1098/rsta.2017.0237. PMC 5869543. PMID 29555807.

[21] Baxter, Rodney J. Exactly solved models in statistical mechanics. Academic Press Inc. 1982. ISBN .

[22] Jia, Xun; Ziegenhein, Peter; Jiang, Steve B. "GPU-based high-performance computing for radiation therapy". Physics in Medicine and Biology. 59 (4). 2014: R151–R182. Bibcode:2014PMB....59R.151J. doi:10.1088/0031-9155/59/4/R151. PMC 4003902. PMID 24486639.

[23] Hill, R; Healy, B; Holloway, L; Kuncic, Z; Thwaites, D; Baldock, C. "Advances in kilovoltage x-ray beam dosimetry". Physics in Medicine and Biology. 59 (6). Mar 2014: R183–R231. Bibcode:2014PMB....59R.183H. doi:10.1088/0031-9155/59/6/R183. PMID 24584183.

[24] Rogers, D W O. "Fifty years of Monte Carlo simulations for medical physics". Physics in Medicine and Biology. 51 (13). 2006: R287–R301. Bibcode:2006PMB....51R.287R. doi:10.1088/0031-9155/51/13/R17. PMID 16790908.

[gibbs-25] Gibbs, Josiah Willard. Elementary Principles in Statistical Mechanics. New York: Charles Scribner's Sons. 1902.

[26] Altshuler, B L; Aronov, A G; Khmelnitsky, D E. "Effects of electron-electron collisions with small energy transfers on quantum localisation". Journal of Physics C: Solid State Physics. 15 (36). 30 December 1982: 7367–7386. Bibcode:1982JPhC...15.7367A. doi:10.1088/0022-3719/15/36/018.

[27] Aleiner, I. L.; Blanter, Ya. M. "Inelastic scattering time for conductance fluctuations". Physical Review B. 65 (11). 28 February 2002: 115317. arXiv:cond-mat/0105436. Bibcode:2002PhRvB..65k5317A. doi:10.1103/PhysRevB.65.115317.

[28] Ramezanpour, Abolfazl; Beam, Andrew L.; Chen, Jonathan H.; Mashaghi, Alireza. "Statistical Physics for Medical Diagnostics: Learning, Inference, and Optimization Algorithms". Diagnostics. 10 (11). 19 November 2020: 972. doi:10.3390/diagnostics10110972. PMC 7699346 (#bad_pmc). PMID 33228143 (#bad_pmid).

[29] Mashaghi, Alireza; Ramezanpour, Abolfazl. "Statistical physics of medical diagnostics: Study of a probabilistic model". Physical Review E. 97 (3). 16 March 2018: 032118. arXiv:1803.10019. Bibcode:2018PhRvE..97c2118M. doi:10.1103/PhysRevE.97.032118. PMID 29776109.

[uffink-30] Uffink, Jos. Compendium of the foundations of classical statistical physics (Preprint). March 2006.

[balescu-31] Balescu, Radu. Equilibrium and Non-Equilibrium Statistical Mechanics. Wiley. 1975. ISBN .