Lejandr çoxhədliləri

Riyaziyyatda, Lejandr funksiyaları aşağıdakı Lejandr differensial tənliyinin dəqiq həlli şəklində meydana çıxır:

${\displaystyle {d \over dx}\left[(1-x^{2}){d \over dx}P_{n}(x)\right]+n(n+1)P_{n}(x)=0.}$

Bu funksiyalara məşhur fransiz riyaziyyatçısı Adrien Mari Lejandrın şərəfinə Lejandr funksiyaları adı verilmişdir. Yuxarıda göstərilən adi diferensial tənlik fizika və bir çox digər təbiət və texniki elm sahələrinin müxtəlif məsələlərinin izah edilməsi zamanı meydana çıxır və uğurla tətbiq edilir. Məsələn, Laplas tənliyinin (və uyğun xüsusi törəməli differensial tənliklərin) sferik koordinatlarda dəqiq həlli məhz bu funksiyalara gətirib çıxarır.

Lejandr diferensial tənliyi adi qüvvət sıraları üsulundan istifadə etməklə dəqiq həll edilə bilər. Bu tənlik x = ±1 qiymətlərində requlyar sinqulyar nöqtələrə malikdir. Bu səbəbdən də, ümumilkdə, qüvvət sıraları üsulu ilə tapilan həll əslində yalnız |x| < 1 şərti çərçivəsində doğrudur. n tam ədəd olduğu zaman isə, x = 1 qiymətində requlyar olan P_n(x) həlli, eyni zamanda, x = −1 qiymətində də requlyar olacaq ki, bu səbəbdən də bu həllin sonsuz sıra şəkli kəsilərək sonlu cəm şəklinə düşəcək (bağqa sözlə, çoxhədliyə çevriləcək).