Eyler üsulu

Ardıcıl yaxınlaşma üsulunda hər bir yaxınlaşmada müəyyən inteqrallar hesablanır. Əksər hallarda müəyyən inteqralları dəqiq üsullarla hesablamaq mümkün olmur və təqribi üsullardan istifadə olunur.

Tutaq ki,

${\displaystyle y^{\prime }(x)=f(x,y)}$

diferensial tənliyinin ${\displaystyle y(x_{0})=y_{0}}$ başlanğıc şərtini ödəyən həllini ${\displaystyle [a,b]}$ parçasında tapmaq tələb olunur ${\displaystyle [a,b]}$ parçasını ${\displaystyle h}$ addımı ilə ${\displaystyle n}$ bərabər hissəyə bölək:

${\displaystyle h={\frac {b-a}{n}},x_{i}=x_{0}+ih,(i=0,1,2,\ldots )}$

${\displaystyle [x_{k},x_{k+1}]}$ parçasında tənliyini inteqrallayaq.

${\displaystyle \int \limits _{x_{k}}^{x_{k+1}}y^{\prime }(x)\,dx=\int \limits _{x_{k}}^{x_{k+1}}f(x,y)\,dx}$ ${\displaystyle y(x)|_{x_{k}}^{x_{k+1}}=\int \limits _{x_{k}}^{x_{k+1}}f(x,y)\,dx\Rightarrow y(x_{k+1})=y(x_{k})+\int \limits _{x_{k}}^{x_{k+1}}f(x,y)\,dx}$ (1)

${\displaystyle [x_{k},x_{k+1}]}$ parçasında ${\displaystyle f(x,y)}$ funksiyasının qiymətini sabit, ${\displaystyle (x_{k},y_{k})}$ nöqtəsindəki qiymətinə bərabər götürsək (1) aşağıdakı kimi yazılar:

${\displaystyle y(x_{k+1})=y(x_{k})+f(x_{k},y_{k})(x_{k+1}-x_{k})=y(x_{k})+f(x_{k},y_{k})h}$(2)

(2) ${\displaystyle (x_{k},y_{k})}$ nöqtəsində tənliyin ${\displaystyle y(x)}$ həllinə çəkilmiş toxunanın tənliyidir. Sanki ${\displaystyle [x_{k},x_{k+1}]}$ parçasında tənliyin həlli abisisi ${\displaystyle x_{k}}$ olan nöqtədə çəkilmiş toxunana paralel və ${\displaystyle (x_{k},y_{k})}$ nöqtəsindən keçən düz xətt parçası ilə əvəz olunur. Nəticədə həllə yaxın sınıq xətləri alırıq ki, bu sınıq xəttə Eyler sınıq xətti deyilir. ${\displaystyle x_{k+1}-x_{k}=h}$ olduğunu nəzərə alsaq və sadə işarələmələrdən istifadə etsək, hesabat düsturlarını aşağıdakı şəkildə yaza bilərik:

${\displaystyle y_{k+1}=y_{k}+f(x_{k},y_{k})h}$