Ədədi silsilə

1) 2; 5; 8; 11; 14; ... ,
2) – 1; 3; 7; 11; 15; ... ,
3) 3; 1; – 1; – 3; – 5; ... , ədədi ardıcıllıqlarından (1)-də ikincidən başlayaraq hər bir hədd özündən əvvəlki hədlə 3-ün cəminə, (2)-də ikincidən başlayaraq hər bir hədd özündən əvvəlki hədlə 4-ün cəminə, (3)-də ikincidən başlayaraq hər bir hədd özündən əvvəlki hədlə (– 2)-nin cəminə bərabərdir. Bu növ ədədi ardıcıllıqlar ədədi silsilə adlanır.

İkincidən başlayaraq hər bir həddi özündən əvvəlki hədlə eyni bir ədədin cəminə bərabər olan ədədi ardıcıllığa ədədi silsilə deyilir. Başqa sözlə, istənilən natural ${\displaystyle n}$ üçün

• ${\displaystyle a_{n+1}=a_{n}+d}$ olarsa, ${\displaystyle a_{n}}$ ardıcıllığına ədədi silsilə deyilir, burada ${\displaystyle d}$ hər hansı ədəddir.

Ədədi silsilənin bu tərifindən görünür ki, ikincidən başlayaraq hər bir həddən özündən əvvəlki həddi çıxsaq, eyni bir ${\displaystyle d}$ ədədi alınar. ${\displaystyle d}$ ədədinə ədədi silsilənin fərqi deyilir:

• ${\displaystyle a_{n+1}-a_{n}=d}$ bu düsturda əgər ${\displaystyle d>0}$ olarsa, ədədi silsilə artan ardıcıllıq, ${\displaystyle d<0}$ olarsa, azalan ardıcıllıq, ${\displaystyle d=0}$ olarsa, sabit ardıcıllıq olur.

Ədədi silsilə o zaman verilmiş hesab edilir ki, onun ${\displaystyle a_{1}}$ - birinci həddi və ${\displaystyle d}$ - silsilə fərqi verilmiş olsun. Yəni ${\displaystyle a_{1}}$ və ${\displaystyle d}$ verilsə ${\displaystyle a_{n}}$ ədədi silsiləsinin istənilən həddini

• ${\displaystyle a_{n}=a_{1}+(n-1)d}$ düsturu ilə tapmaq olar. Bu düstura ədədi silsilənin n-ci həddinin düsturu deyilir.

• ${\displaystyle a_{n}=a_{1}+(n-1)d}$ düsturunu ${\displaystyle a_{n}=nd+(a_{1}-d)}$ şəklində yazıb, ${\displaystyle d=k}$, ${\displaystyle a_{1}-d=b}$ işarə etsək, ${\displaystyle a_{n}=kn+b}$ alarıq.
  

TEOREM. ${\displaystyle a_{n}}$ ardıcıllığı yalnız və yalnız onun ${\displaystyle n}$-ci həddi ${\displaystyle a_{n}=kn+b}$ şəklində düsturla verildikdə ədədi silsilə olur.

Ədədi silsilənin xassələri

Ədədi silsilənin ${\displaystyle n}$ -ci həddinin düsturunun tətbiqi ilə onun aşağıdakı xassələri alınır:

1. Sonlu ədədi silsilədə uclardan eyni uzaqlıqda duran hədlərin cəmi kənar hədlərin cəminə bərabərdir. Yəni, ${\displaystyle a_{1}}$ ;${\displaystyle a_{2}}$ ;${\displaystyle a_{3}}$ ;...;${\displaystyle a_{n-1};}$ ${\displaystyle a_{n}}$  ədədi silsiləsində bu düstur alınır:

• ${\displaystyle a_{k}+a_{n-k+1}=a_{1}+a_{n}}$  burada, ${\displaystyle a_{k}}$  əvvəldən ${\displaystyle k}$ -cı hədd, ${\displaystyle a_{n-k+1}}$  isə axırdan ${\displaystyle k}$ -cı həddir.
  

2. Ədədi silsilədə indekslərinin cəmi bərabər olan hədlərin cəmi bərabərdir. Yəni, ${\displaystyle n+m=k+l}$  olarsa, ${\displaystyle a_{n}+a_{m}=a_{k}+a_{l}}$  olar.

3. ${\displaystyle n={\frac {k+l}{2}}}$  olduqda, ədədi silsilədə ${\displaystyle a_{n}={\frac {a_{k}+a_{l}}{2}}}$  olur.

4. Ədədi silsilədə ikincidən başlayaraq hər bir hədd özündən əvvəlki və sonrakı hədlərin ədədi ortasına bərabərdir. Yəni,

• ${\displaystyle a_{n}={\frac {a_{n-1}+a_{n+1}}{2}}(n>1)}$  buna ədədi silsilənin xarakterik xassəsi deyilir.
  

5. ${\displaystyle a_{n}}$  ədədi silsiləsində ${\displaystyle n>m}$  olduqda, ${\displaystyle a_{n}=a_{m}+(n-m)d}$  bərabərliyi doğrudur.

6. ${\displaystyle n>m}$  olduqda, ${\displaystyle a_{n}}$  ədədi silsiləsi üçün ${\displaystyle d={\frac {a_{n}-a_{m}}{n-m}}}$  bərabərliyi doğrudur, ${\displaystyle d}$  ədədi silsilənin fərqidir.

${\displaystyle a_{n}}$  ədədi silsiləsinin ilk ${\displaystyle n}$  həddinin cəmi, yəni ${\displaystyle a_{1}}$ +${\displaystyle a_{2}}$ +${\displaystyle a_{3}}$ +...+${\displaystyle a_{n}}$  cəmi bu düsturla hesablanır:

• ${\displaystyle S_{n}={\frac {a_{1}+a_{n}}{2}}*n}$ . Bu düsturda ${\displaystyle a_{n}=a_{1}+(n-1)d}$  olduğunu nəzərə alsaq daha ətraflı olan bu düsturu alarıq:
• ${\displaystyle S_{n}={\frac {2a_{1}+(n-1)d}{2}}*n}$ . Bu düsturların hər ikisi ədədi silsilənin ilk ${\displaystyle n}$  həddinin cəmi düsturları adlanır.
  

7. Ədədi silsilənin ${\displaystyle k}$ -cı həddi məlum olduqda onun ilk ${\displaystyle (2k-1)}$  sayda həddinin cəmi

• ${\displaystyle S_{2k-1}=(2k-1)a_{k}}$  düsturu ilə hesablanır.
  

8. Ədədi silsilənin ilk ${\displaystyle n}$  həddinin cəmi ${\displaystyle S_{n}}$ -in ifadəsi məlum olduqda onun hər hansı ${\displaystyle k}$  nömrəli həddini

• ${\displaystyle a_{k}=S_{k}-S_{k-1}}$  düsturu ilə hesablamaq olar.

Həmçinin bax

• Həndəsi silsilə