Xan-Banax teoremi

Teorem

Tutaq ki, ${\displaystyle p}$ funksionalı ${\displaystyle E}$ həqiqi xətti fəzasında təyin olunmuş bircins qabarıq funksional, ${\displaystyle f}$ isə müəyyən ${\displaystyle L\subset E}$ xətti altfəzasında təyin olunmuş və istənilən ${\displaystyle x\in L}$ ünsürü üçün

${\displaystyle f(x)\leq p(x)}$

şərtini ödəyən həqiqi xətti funksionaldır. Onda ${\displaystyle f}$ funksionalını bütün ${\displaystyle E}$ fəzasında təyin olunan və istənilən ${\displaystyle x\in E}$ ünsürü üçün

${\displaystyle F(x)\leq p(x)}$

şərtini ödəyən ${\displaystyle F}$ həqiqi xətti funksionalına davam etdirmək olar.

İsbatı

${\displaystyle f}$ funksionalının hər bir ${\displaystyle x\in D(f^{\prime })}$ ünsürü üçün ${\displaystyle f^{\prime }(x)\leq p(x)}$ bərabərsizliyini ödəyən bütün ${\displaystyle f^{\prime }}$ xətti davamları çoxluğunu ${\displaystyle F_{p}}$ ilə işarə edək. Burada ${\displaystyle D(f^{\prime })}$ ${\displaystyle f^{\prime }}$ funksionalının təyin oblastıdır. ${\displaystyle f_{1}^{\prime },f_{2}^{\prime }\in F_{p}}$ funksionallarından ${\displaystyle f_{2}^{\prime }}$ funksionalı ${\displaystyle f_{1}^{\prime }}$-in davamı olduqda bunu ${\displaystyle f_{1}^{\prime }<f_{2}^{\prime }}$ şəklində ifadə edək. Onda ${\displaystyle F_{p}}$ bu münasibətə nəzərən qismən nizamlanmış çoxluq olar. Əgər ${\displaystyle F_{p}^{\prime }}$-lə ${\displaystyle F_{p}}$-nin (xətti) nizamlanmış hissəsini işarə etsək, ${\displaystyle \bigcup \limits _{f^{\prime }\in F_{p}}D(f^{\prime })}$ çoxluğunda təyin olunan və hər bir ${\displaystyle x\in D(f^{\prime })}$, ${\displaystyle f^{\prime }\in F_{p}^{\prime }}$ üçün ${\displaystyle f_{0}(x)=f^{\prime }(x)}$ kimi verilən ${\displaystyle f_{0}}$ funksionalı ${\displaystyle F_{p}^{\prime }}$ çoxluğunun yuxarı sərhəddi olacaqdır. Bu da onu göstərir ki, ${\displaystyle F_{p}}$ çoxluğu Sorn lemmasının şərtlərini ödəyir. Onda bu lemmaya görə ${\displaystyle F_{p}}$ çoxluğu ${\displaystyle F}$ maksimal ünsürünə malikdir. Asanlıqla görmək olar ki, ${\displaystyle f}$ maksimal funksionalının təyin oblastı bütün ${\displaystyle E}$ oblastı ilə üst-üstə düşür. Əks halda ${\displaystyle f}$ funksionalının ${\displaystyle D(F)}$ təyin oblastından münasibətini ödəməklə davam etdirmək olardı. Bu isə ${\displaystyle F}$-in maksimal ünsür olmasına zidd olardı. Bununla teorem isbat olundu.

Ədəbiyyat

1. Ə.H.Əhmədov. Xətti analizin üç prinsipi. Dərs vəsaiti. Bakı: «Bakı Universiteti» nəşriyyatı, 2008, 112 s.

2. Elşar Qurban oğlu Orucov. Tətbiqi funksional analizin elementləri: Bakı “BDU nəşriyyatı”, 2008, 234 səh. 2017-05-17 at the Wayback Machine

3. А.Н.Колмогоров, С.М.Фомин. Элементы теории функции и функционального анализа. М., 1988 г

4. Л.А.Люстерник, В.И.Соболев. Элементы функционального анализа. М., 1965г.

5.Л.В.Канторович, Г.П.Акилов. Функциональный анализ в нормированных пространствах.М., 1959 г.

6.М.Рид, Б.Саймон. Методы современной математической физики, т.1.Функциональный анализ, 1977 г.

7.В.А.Треногин. Задачи и упражнения по функциональному анализу.М., 1984 г.

8.Ə.Həbibzadə. Funksional analiz. Bakı, 1988

Həmçinin bax

Математический анализ, функциональный анализ