Xan-Banax teoremi

Teorem

Tutaq ki, ${\displaystyle p}$  funksionalı ${\displaystyle E}$  həqiqi xətti fəzasında təyin olunmuş bircins qabarıq funksional, ${\displaystyle f}$  isə müəyyən ${\displaystyle L\subset E}$  xətti altfəzasında təyin olunmuş və istənilən ${\displaystyle x\in L}$  ünsürü üçün

${\displaystyle f(x)\leq p(x)}$ 

şərtini ödəyən həqiqi xətti funksionaldır. Onda ${\displaystyle f}$  funksionalını bütün ${\displaystyle E}$  fəzasında təyin olunan və istənilən ${\displaystyle x\in E}$  ünsürü üçün

${\displaystyle F(x)\leq p(x)}$ 

şərtini ödəyən ${\displaystyle F}$  həqiqi xətti funksionalına davam etdirmək olar.

İsbatı

${\displaystyle f}$  funksionalının hər bir ${\displaystyle x\in D(f^{\prime })}$  ünsürü üçün ${\displaystyle f^{\prime }(x)\leq p(x)}$  bərabərsizliyini ödəyən bütün ${\displaystyle f^{\prime }}$  xətti davamları çoxluğunu ${\displaystyle F_{p}}$  ilə işarə edək. Burada ${\displaystyle D(f^{\prime })}$  ${\displaystyle f^{\prime }}$  funksionalının təyin oblastıdır. ${\displaystyle f_{1}^{\prime },f_{2}^{\prime }\in F_{p}}$  funksionallarından ${\displaystyle f_{2}^{\prime }}$  funksionalı ${\displaystyle f_{1}^{\prime }}$ -in davamı olduqda bunu ${\displaystyle f_{1}^{\prime }<f_{2}^{\prime }}$  şəklində ifadə edək. Onda ${\displaystyle F_{p}}$  bu münasibətə nəzərən qismən nizamlanmış çoxluq olar. Əgər ${\displaystyle F_{p}^{\prime }}$ -lə ${\displaystyle F_{p}}$ -nin (xətti) nizamlanmış hissəsini işarə etsək, ${\displaystyle \bigcup \limits _{f^{\prime }\in F_{p}}D(f^{\prime })}$  çoxluğunda təyin olunan və hər bir ${\displaystyle x\in D(f^{\prime })}$ , ${\displaystyle f^{\prime }\in F_{p}^{\prime }}$  üçün ${\displaystyle f_{0}(x)=f^{\prime }(x)}$  kimi verilən ${\displaystyle f_{0}}$  funksionalı ${\displaystyle F_{p}^{\prime }}$  çoxluğunun yuxarı sərhəddi olacaqdır. Bu da onu göstərir ki, ${\displaystyle F_{p}}$  çoxluğu Sorn lemmasının şərtlərini ödəyir. Onda bu lemmaya görə ${\displaystyle F_{p}}$  çoxluğu ${\displaystyle F}$  maksimal ünsürünə malikdir. Asanlıqla görmək olar ki, ${\displaystyle f}$  maksimal funksionalının təyin oblastı bütün ${\displaystyle E}$  oblastı ilə üst-üstə düşür. Əks halda ${\displaystyle f}$  funksionalının ${\displaystyle D(F)}$  təyin oblastından münasibətini ödəməklə davam etdirmək olardı. Bu isə ${\displaystyle F}$ -in maksimal ünsür olmasına zidd olardı. Bununla teorem isbat olundu.

Ədəbiyyat

1. Ə.H.Əhmədov. Xətti analizin üç prinsipi. Dərs vəsaiti. Bakı: «Bakı Universiteti» nəşriyyatı, 2008, 112 s.

2. Elşar Qurban oğlu Orucov. Tətbiqi funksional analizin elementləri: Bakı “BDU nəşriyyatı”, 2008, 234 səh. 2017-05-17 at the Wayback Machine

3. А.Н.Колмогоров, С.М.Фомин. Элементы теории функции и функционального анализа. М., 1988 г

4. Л.А.Люстерник, В.И.Соболев. Элементы функционального анализа. М., 1965г.

5.Л.В.Канторович, Г.П.Акилов. Функциональный анализ в нормированных пространствах.М., 1959 г.

6.М.Рид, Б.Саймон. Методы современной математической физики, т.1.Функциональный анализ, 1977 г.

7.В.А.Треногин. Задачи и упражнения по функциональному анализу.М., 1984 г.

8.Ə.Həbibzadə. Funksional analiz. Bakı, 1988

Həmçinin bax

Математический анализ, функциональный анализ