Əyrinin uzunluğu

Uzunluq riyaziyyatda parça, yol və əyrilərin xassələrini səciyyələndirir. Əyrinin uzunluğu həmçinin "qövs uzunluğu" da adlanır.

Parçanın uzunluğu

Əgər, uyğun olaraq ${\displaystyle (a_{1},a_{2},a_{3})}$  , ${\displaystyle (b_{1},b_{2},b_{3})}$  koordinatlarına malik ${\displaystyle A}$  və ${\displaystyle B}$  nöqtələri verilmiş ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$  fəzaya aiddrsə, onda bu koordinatlar arasındakı ${\displaystyle AB}$  parçasının uzunluğu Pifaqor teoreminə görə hesablanır:

${\displaystyle |AB|={\sqrt {(a_{1}-b_{1})^{2}+(a_{2}-b_{2})^{2}+(a_{3}-b_{3})^{2}}}}$ 

Müstəvidə yolun uzunluğu

Müstəvi üzərində və ya fəzada yol iki və ya üç koordinat funksiyası ilə verilir:

${\displaystyle t\mapsto (x(t),y(t))}$  uyğun olaraq ${\displaystyle t\mapsto (x(t),y(t),z(t))}$ , ${\displaystyle a\leq t\leq b}$  şərti daxilində.

Hissə-hissə kəsilməyən yolun uzunluğu onun vektorunun inteqrallanması ilə əldə edilir:

${\displaystyle L=\int _{a}^{b}{\sqrt {{\dot {x}}(t)^{2}+{\dot {y}}(t)^{2}}}\,\mathrm {d} t}$  uyğun olaraq ${\displaystyle \int _{a}^{b}{\sqrt {{\dot {x}}(t)^{2}+{\dot {y}}(t)^{2}+{\dot {z}}(t)^{2}}}\,\mathrm {d} t.}$ 

Polyar koordinat sistemində yolun uzunluğu

Müstəvidə verilmiş yol polyar koordinat sistemnində ${\displaystyle r(\varphi )}$  şəklind təyin olunmuşsa, onda

${\displaystyle \varphi _{0}\leq \varphi \leq \varphi _{1}}$  üçün ${\displaystyle \varphi \mapsto (r(\varphi )\cos \varphi ,r(\varphi )\sin \varphi )}$ 

hasil qaydasından alınır

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} \varphi }}=r^{\prime }(\varphi )\cos \varphi -r(\varphi )\sin \varphi }$  və

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} \varphi }}=r^{\prime }(\varphi )\sin \varphi +r(\varphi )\cos \varphi }$ , bununla

${\displaystyle \left({\frac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} \varphi }}\right)^{2}+\left({\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} \varphi }}\right)^{2}=\left(r^{\prime }(\varphi )\right)^{2}+r^{2}(\varphi )}$ .

Buradan polyar koordinat siistemondə yolun uzunluğu belə tapılır:

${\displaystyle L=\int _{\varphi _{0}}^{\varphi _{1}}{\sqrt {\left(r^{\prime }(\varphi )\right)^{2}+r^{2}(\varphi )}}\,\mathrm {d} \varphi }$ .

Həmçinin bax

Uzunluq (Fizika)

Uzunluq (Cəbr)