Qeyri-qabarıqlılıq (iqtisadiyyat)

Qeyri-qabarıqlılıq iqtisadiyyatda — ibtidai iqtisadiyyatın qabarıqlıq fərziyyələrinin pozulmasına aiddir. Əsas iqtisadiyyat dərsliklərində qabarıq seçimləri olan (qabaqcılları orta dəyərlərdən üstün olmayan) və qabarıq büdcə dəstləri olan istehlakçılara, həmçinin qabarıq istehsal dəstləri olan istehsalçılara diqqət yetirilir; qabarıq modellər üçün proqnozlaşdırılan iqtisadi davranış yaxşı başa düşülür. Konveksiya fərziyyələri pozulduqda, rəqabətli bazarların bir çox yaxşı xüsusiyyətlərinə sahib olmaq lazım deyil: beləliklə qabarıqlıq tələb və təklif fərqli olduqda və ya bazar tarazlığı ola biləcəyi zaman bazar uğursuzluqları ilə əlaqələndirilir təsirsiz. Qabarıq olmayan iqtisadiyyatlar qabarıq analizin ümumiləşdirilməsi olan hamar olmayan analizdən istifadə etməklə öyrənilir.

Çox istehlakçıdan tələb

Tercihlər dəsti qabarıq deyilsə, bəzi qiymətlər iki ayrı optimal səbəti dəstəkləyən büdcə xəttini təyin edir. Məsələn, zooparklar üçün bir aslanın bir qartalla eyni qiymətə olduğunu və bununla yanaşı, zoopark büdcəsinin bir qartal və ya bir aslan üçün kifayət olduğunu xəyal edə bilərik. Zoopark gözətçisinin hər hansı bir heyvanı bərabər dəyərdə hesab etdiyi də ehtimal edilə bilər. Bu vəziyyətdə, zoopark ya bir aslan, ya da bir qartal alıb. Əlbəttə ki, müasir bir zoopark yarısı qartal və yarısı aslan almaq istəmir. Beləliklə, heyvanat parkı gözətçisinin üstünlükləri qabarıq deyil: heyvanat parkı qoruyucusu, hər hansı bir heyvana sahib olmağa üstünlük verir, əksinə onların hər hansı bir qabarıq birləşməsindən daha çox.

 

İstehlakçı üstünlükləri içəriyə sahib olduqda, xətti büdcələr bir müvazinət dəstəkləməməlidir: İstehlakçılar iki ayrı ayırma (bərabər fayda) arasında atlaya bilərlər.

İstehlakçının üstünlük dəsti qabarıq olmayan olduqda, (bəzi qiymətlər üçün) istehlakçının tələbi əlaqələndirilmir; Bağlı bir tələb, istehlakçı tərəfindən Harold Hotellinqin müzakirə etdiyi bəzi kəsici davranışları nəzərdə tutur:

Satınalmalar üçün laqeydlik əyriləri dalğalı bir xarakterə sahib, bəzi bölgələrdə mənşəyə doğru qabarıq və digər bölgələrdə qeyri-qabarıqlılıq kimi düşünülürsə, yalnız mənşəyə doğru qabarıq hissələrin hər hansı bir əhəmiyyətə sahib olduğu qənaətinə gəlirik. , çünki digərləri əslində müşahidə edilə bilməz. Bunlar yalnız qiymət nisbətlərinin dəyişməsi ilə tələbdə baş verə bilən fasilələrlə aşkar edilə bilər ki, bu da düz xətt döndürüldükdə bir cəngəllik nöqtəsinin kəskin bir sıçrayışına səbəb olur. Fəqət, bu cür fasilələr qarışıqlıqların mövcudluğunu göstərsə də, dərinliklərini heç vaxt ölçə bilməzlər. Laqeydlik əyrilərinin qeyri-qabarıqlılıq hissələri və onların çoxölçülü ümumiləşdirmələri, əgər mövcuddursa, sonsuza qədər ölçülməz qaranlıqda qalmalıdır.

Divertə görə, qabarıq olmayan üstünlükləri öyrənməyin çətinlikləri Hermann Vold və yenə də qabarıqlıqların “əbədi qaranlıqda kəfənləndiyini ...” yazan Paul Samuelson tərəfindən vurğulandı.

Konveksiya fərziyyələri pozulduqda, rəqabətli bazarların bir çox yaxşı xüsusiyyətlərinə sahib olmaq lazım deyil: beləliklə qabarıqlıq tələb və təklif fərqli olduqda və ya bazar tarazlığı təsirsiz ola biləcəyi zaman bazar uğursuzluqları ilə əlaqələndirilir. 1959-cu ildən 1961-ci ilədək, The Journal of Political Economy (JPE) jurnalındakı bir sıra məqalələrdə qabarıq olmayan üstünlüklər vurğulanmışdır. Əsas iştirakçılar Farrell, Bator, Kupmans, In particular, Rothenberg's paper discussed the approximate convexity of sums of non-convex sets. və Rotenberq idi. Xüsusilə, Rotenberq məqaləsində qabarıq olmayan çoxluqların cəmlərinin təxmini qabarıqlığı müzakirə olunur. Bu JPE sənədləri görkəmli istehlakçı üstünlüklərini nəzərə alan və "kobud tarazlıq" anlayışını təqdim edən Lloyd Şapley və Martin Şubikin işini stimullaşdırdı . JPE məqalələri və Şapley-Şubik məqaləsi, Robert Auman tərəfindən irəli sürülmüş başqa bir "kvazi tarazlıq" anlayışına təsir etdi .

Qabarıq olmayan çoxluqlar ümumi iqtisadi tarazlıq nəzəriyyəsinə daxil edilmişdir. Bu nəticələr məzunlar üçün mikroiqtisadiyyat, ümumi tarazlıq nəzəriyyəsi, oyun nəzəriyyəsi, riyazi iqtisadiyyat və tətbiqi riyaziyyat (iqtisadçılar üçün) dərsliklərində təsvir edilmişdir. Şapley - Folkman lemma, qabarıqlıqların çox sayda istehlakçıya sahib bazarlarda təxmini tarazlığa uyğun olduğunu bildirir; bu nəticələr çox sayda kiçik firma olan istehsal iqtisadiyyatına da aiddir.

Az istehsalçı ilə təchizat

Qabarıqlıq oliqopoliya və xüsusilə inhisarlar üçün vacibdir. Bazar gücünü istismar edən böyük istehsalçıların narahatlığı, qabarıq olmayan dəstlər haqqında ədəbiyyatı başlatdı, Pyero Sraffa 1926-cı ildə miqyası artan gəliri olan firmalar haqqında yazdı, bundan sonra Harold Hotelling 1938-ci ildə marjinal xərclər haqqında yazdı. Həm Sraffa, həm də Hotelling, rəqibləri olmayan istehsalçıların bazar gücünü işıqlandırdı və iqtisadiyyatın tədarük tərəfi ilə bağlı bir ədəbiyyatı açıq şəkildə stimullaşdırdı.

Müasir iqtisadiyyat

Son iqtisadi araşdırmalar, inkişaf etməkdə olan iqtisadiyyat sahələrində qabarıqlığı tanımadı. Bu sahələrdə qabarıqlıq olmayan, tarazlığın səmərəli olmamalı olduğu və ya tələb və təklifin fərqli olduğu üçün rəqabətli tarazlığın mövcud olmadığı bazar uğursuzluqları ilə əlaqələndirilir. Qabarıq olmayan dəstlər ətraf mühitin faydaları (və digər xarici amillər) ilə də yaranır və bazarda baş verən uğursuzluqlar və dövlət iqtisadiyyatı. Qeyri-qabarıqlıqlara informasiya iqtisadiyyatı və fond bazarlarında (və digər natamam bazarlarda) da rast gəlinir . Bu cür tətbiqlər iqtisadçıları qabarıq olmayan dəstləri öyrənməyə sövq etməyə davam edirdi . Bəzi hallarda qeyri-xətti qiymət və ya sövdələşmə bazar uğursuzluğunu rəqabətli qiymətlər vasitəsi ilə aşa bilər; digər hallarda tənzimləmə təmin edilə bilər.

Zamanla optimallaşdırma

Daha əvvəl göstərilən tətbiqetmələr, nöqtələrin məhsul paketləri olduğu qabarıqlıqların sonsuz ölçülü vektor boşluqları ilə əlaqədardır. Bununla yanaşı, iqtisadçılar diferensial tənliklər, dinamik sistemlər, stoxastik proseslər və funksional analiz nəzəriyyələrindən istifadə edərək zamanla dinamik optimallaşdırma problemlərini də nəzərdən keçirirlər: iqtisadçılar aşağıdakı optimallaşdırma metodlarından istifadə edirlər:

• Frenk P. Ramsey və Harold Hotellinqi izləyən varyasyonların hesablanması;
• Riçard Bellman və Ronald Hovardı izləyən dinamik proqramlaşdırma; və
• nəzarət nəzəriyyəsi.

Bu nəzəriyyələrdə müntəzəm problemlər qabarıq sahələrdə müəyyən edilmiş qabarıq funksiyaları əhatə edir və bu qabarıqlıq sadələşdirilmiş metodlara və nəticələrin iqtisadi cəhətdən mənalı şərhinə imkan verir. İqtisadiyyatda dinamik proqramlaşdırma Martin Bekmen və Riçard F. Mut tərəfindən inventar nəzəriyyəsi və istehlak nəzəriyyəsi üzərində işləmək üçün istifadə edilmişdir. Robert S. Merton, müvəqqəti kapital aktivlərinin qiymətləri modelinə dair 1973 məqaləsində dinamik proqramlaşdırmadan istifadə etmişdir . (Mertonun portfel probleminə də baxın). Merton modelində investorlar bugünkü gəlirlə gələcək gəlir və ya kapital qazancı arasında seçim edirlər və onların həllinə dinamik proqramlaşdırma istifadə olunur. Stokey, Lukas və Preskot iqtisadiyyatdakı stoxastik proseslərlə əlaqəli problemləri həll etmək üçün dinamik proqramlaşdırmadan istifadə edirlər . Dinamik proqramlaşdırma optimal iqtisadi böyümə, resurs çıxarılması, əsas agent vəzifələri, dövlət maliyyəsi, iş investisiyaları, aktiv qiymətləri, amil təchizatı və istehsalın təşkili üçün istifadə edilmişdir. Ljungqvist & Sargent pul siyasəti, vergi siyasəti, vergi, iqtisadi artım, axtarış nəzəriyyəsi və əmək iqtisadiyyatı ilə bağlı müxtəlif nəzəri məsələləri araşdırmaq üçün dinamik proqramlaşdırmadan istifadə edirlər. Dixit & Pindyck kapital büdcəsi üçün dinamik proqramlaşdırma istifadə etdi. Dinamik problemlər üçün qeyri-konveksiya bazarda baş verən uğursuzluqlarla da əlaqələndirilir , həmçinin sabit vaxtla bağlı problemlərdə.

Hamar analiz

İqtisadçılar qabarıq analizi ümumiləşdirən qeyri-yumşaq analiz yolu ilə qabarıq olmayan çoxluqları getdikcə daha çox öyrənirlər. Konveks təhlili güclü fikirlər və aydın nəticələr verdiyi, lakin miqyaslı gəlirlərin artması kimi qabarıqlıqların təhlili üçün uyğun olmayan qabarıq dəstlər və qabarıq funksiyalar üzərində dayanır. "İstehsal və istehlakdakı qeyri-konveksiya ... qabarıqlıqdan kənar riyazi alətlər tələb edirdi və daha da inkişaf etmək üçün qeyri-bərabər bir hesabın icadını gözləmək lazım idi": məsələn, Rademacher teoremindən istifadə edən və Rockafellar & Wets ( 1998) [54] və Morduxoviç (2006), Xana (2008) görə . Brown (1995, s. 1967-1968) "firmaların qiymət qaydaları ilə ümumi tarazlıq analizindəki əsas metodoloji yenilik" "qlobal analiz (diferensial topologiya) və qabarıq analiz kimi qeyri-bərabər analiz metodlarının tətbiqi" olduğunu yazmışdır

İstinadlar

1. Mas-Colell, A. (1987). "Non-convexity" (PDF). In Eatwell, John; Milgate, Murray; Newman, Peter (eds.). The New Palgrave: A Dictionary of Economics (first). Palgrave Macmillan. 653–661. doi:10.1057/9780230226203.3173. ISBN 9780333786765.
2. Green, Jerry; Heller, Walter P. (1981). "1 Mathematical analysis and convexity with applications to economics". In Arrow, Kenneth Joseph; Intriligator, Michael D (eds.). Handbook of mathematical economics, Volume I. Handbooks in economics. 1. Amsterdam: North-Holland Publishing Co. 15–52. doi:10.1016/S1573-4382(81)01005-9. ISBN 0-444-86126-2. MR 0634800.
3. Salanié, Bernard (2000). "7 Nonconvexities". Microeconomics of market failures (English translation of the (1998) French Microéconomie: Les défaillances du marché (Economica, Paris)). Cambridge, MA: MIT Press. 107–125. ISBN 0-262-19443-0.
4. Salanié, (2000. səh. 36)
5. Page 1: Guesnerie, Roger (1975). "Pareto optimality in non-convex economies". Econometrica. 43. 1–29. doi:10.2307/1913410. JSTOR 1913410. MR 0443877. ("Errata". Econometrica. 43 (5–6). 1975. səh. 1010. doi:10.2307/1911353. JSTOR 1911353. MR 0443878.)
6. Chapter 8 "Applications to economics", especially Section 8.5.3 "Enter nonconvexity" (and the remainder of the chapter), particularly page 495:

   Mordukhovich, Boris S. (2006). Variational analysis and generalized differentiation II: Applications. Grundlehren Series (Fundamental Principles of Mathematical Sciences). 331. Springer. i–xxii and&nbsp, 1–610. MR 2191745.

7. Khan, M. Ali (2008). "Perfect competition". In Durlauf, Steven N.; Blume, Lawrence E., ed. (eds.). The New Palgrave Dictionary of Economics (Second). Palgrave Macmillan. 354–365. doi:10.1057/9780230226203.1267. ISBN 978-0-333-78676-5.
8. Brown, Donald J. (1991). "36 Equilibrium analysis with non-convex technologies". In Hildenbrand, Werner; Sonnenschein, Hugo (eds.). Handbook of mathematical economics, Volume IV. Handbooks in Economics. 1. Amsterdam: North-Holland Publishing Co. 1963–1995 [1966]. doi:10.1016/S1573-4382(05)80011-6. ISBN 0-444-87461-5. MR 1207195.
9. Hotelling, (1935. səh. 74): Hotelling, Harold (January 1935). "Demand functions with limited budgets". Econometrica. 3 (1): 66–78. doi:10.2307/1907346. JSTOR 1907346.
10. Diewert, (1982. səh. 552–553): Diewert, W. E. (1982). "12 Duality approaches to microeconomic theory". In Arrow, Kenneth Joseph; Intriligator, Michael D (eds.). Handbook of mathematical economics, Volume II. Handbooks in economics. 1. Amsterdam: North-Holland Publishing Co. 535–599. doi:10.1016/S1573-4382(82)02007-4. ISBN 978-0-444-86127-6. MR 0648778.
11. Samuelson, (1950. səh. 359–360):

    It will be noted that any point where the indifference curves are convex rather than concave cannot be observed in a competitive market. Such points are shrouded in eternal darkness—unless we make our consumer a monopsonist and let him choose between goods lying on a very convex "budget curve" (along which he is affecting the price of what he buys). In this monopsony case, we could still deduce the slope of the man's indifference curve from the slope of the observed constraint at the equilibrium point.

    Samuelson, Paul A. (1950). "The problem of integrability in utility theory". Economica. New Series. 17. 355–385. doi:10.2307/2549499. JSTOR 2549499. MR 0043436.For the epigraph to their seventh chapter, "Markets with non-convex preferences and production" presenting Starr, (1969), Arrow, Hahn, (1971. səh. 169) quote John Milton's description of the (non-convex) Serbonian Bog in Paradise Lost (Book II, lines 592–594):

    A gulf profound as that Serbonian Bog
    

    Betwixt Damiata and Mount Casius old,
    

    Where Armies whole have sunk.

12. Pages 231 and 239 (Figure 10 a–b: Illustration of lemma 5 [page 240]): Wold, Herman (1943b). "A synthesis of pure demand analysis II". Skandinavisk Aktuarietidskrift [Scandinavian Actuarial Journal]. 26. 220–263. MR 0011939.

    Exercise 45, page 146: Wold, Herman; Juréen, Lars (in association with Wold) (1953). "8 Some further applications of preference fields (pp. 129–148)". Demand analysis: A study in econometrics. Wiley publications in statistics. New York: John Wiley and Sons, Inc. Stockholm: Almqvist and Wiksell. xvi+358. MR 0064385.

13. Bator, Francis M. (October 1961a). "On convexity, efficiency, and markets". The Journal of Political Economy. 69 (5): 480–483. doi:10.1086/258540. JSTOR 1828537. Bator, Francis M. (October 1961b). "On convexity, efficiency, and markets: Rejoinder". Journal of Political Economy. 69 (5): 489. doi:10.1086/258542. JSTOR 1828539.
14. Farrell, M. J. (August 1959). "The Convexity assumption in the theory of competitive markets". The Journal of Political Economy. 67 (4): 371–391. doi:10.1086/258197. JSTOR 1825163.Farrell, M. J. (October 1961a). "On Convexity, efficiency, and markets: A Reply". Journal of Political Economy. 69 (5): 484–489. doi:10.1086/258541. JSTOR 1828538.Farrell, M. J. (October 1961b). "The Convexity assumption in the theory of competitive markets: Rejoinder". Journal of Political Economy. 69 (5): 493. doi:10.1086/258544. JSTOR 1828541.
15. Koopmans, Tjalling C. (October 1961). "Convexity assumptions, allocative efficiency, and competitive equilibrium". The Journal of Political Economy. 69 (5): 478–479. doi:10.1086/258539. JSTOR 1828536.

    Koopmans, (1961. səh. 478) and others—for example, Farrell, (1959. səh. 390–391) and Farrell, (1961a. səh. 484), Bator, (1961. səh. 482–483), Rothenberg, (1960. səh. 438), and Starr, (1969. səh. 26)—commented on Koopmans, (1957. səh. 1–126, especially 9–16 [1.3 Summation of opportunity sets], 23–35 [1.6 Convex sets and the price implications of optimality], and 35–37 [1.7 The role of convexity assumptions in the analysis]):

    Tjalling C., Koopmans (1957). "Allocation of resources and the price system". In Koopmans, Tjalling C (ed.). Three essays on the state of economic science. New York: McGraw–Hill Book Company. 1–126. ISBN 0-07-035337-9.

16. Rothenberg, (1960. səh. 447): Rothenberg, Jerome (October 1960). "Non-convexity, aggregation, and Pareto optimality". The Journal of Political Economy. 68 (5): 435–468. doi:10.1086/258363. JSTOR 1830308. (Rothenberg, Jerome (October 1961). "Comments on non-convexity". Journal of Political Economy. 69 (5): 490–492. doi:10.1086/258543. JSTOR 1828540.)
17. Arrow, Hahn, (1980. səh. 182)
18. Shapley, Shubik, (1966. səh. 806): Shapley, L. S.; Shubik, M. (October 1966). "Quasi-cores in a monetary economy with nonconvex preferences". Econometrica. 34 (4): 805–827. doi:10.2307/1910101. JSTOR 1910101. Zbl 0154.45303.
19. Aumann, (1966. səh. 1–2): Aumann, Robert J. (January 1966). "Existence of competitive equilibrium in markets with a continuum of traders". Econometrica. 34 (1): 1–17. doi:10.2307/1909854. JSTOR 1909854. MR 0191623. Aumann, (1966) builds on two papers: Şablon:Harvs

    Aumann, Robert J. (January–April 1964). "Markets with a continuum of traders". Econometrica. 32 (1–2): 39–50. doi:10.2307/1913732. JSTOR 1913732. MR 0172689.

    Aumann, Robert J. (August 1965). "Integrals of set-valued functions". Journal of Mathematical Analysis and Applications. 12 (1): 1–12. doi:10.1016/0022-247X(65)90049-1. MR 0185073.

20. Taking the convex hull of non-convex preferences had been discussed earlier by Wold, (1943b. səh. 243) and by Wold, Juréen, (1953. səh. 146), according to Diewert, (1982. səh. 552).

21. Pages 392–399 and page 188: Arrow, Kenneth J.; Hahn, Frank H. (1971). "Appendix B: Convex and related sets". General competitive analysis. Mathematical economics texts [Advanced textbooks in economics]. San Francisco, CA: Holden-Day, Inc. [North-Holland]. 375–401. ISBN 0-444-85497-5. MR 0439057.

    Pages 52–55 with applications on pages 145–146, 152–153, and 274–275: Mas-Colell, Andreu (1985). "1.L Averages of sets". The Theory of General Economic Equilibrium: A Differentiable Approach. Econometric Society Monographs. Cambridge UP. ISBN 0-521-26514-2. MR 1113262.

    Theorem C(6) on page 37 and applications on pages 115-116, 122, and 168: Hildenbrand, Werner (1974). Core and equilibria of a large economy. Princeton studies in mathematical economics. Princeton, N.J.: Princeton University Press. viii+251. ISBN 978-0-691-04189-6. MR 0389160.

22. Varian, Hal R. (1992). "21.2 Convexity and size". Microeconomic Analysis (3rd). W. W. Norton & Company. 393–394. ISBN 978-0-393-95735-8. MR 1036734.

    Page 628: Mas–Colell, Andreu; Whinston, Michael D.; Green, Jerry R. (1995). "17.1 Large economies and nonconvexities". Microeconomic theory. Oxford University Press. 627–630. ISBN 978-0-19-507340-9.

23. Page 169 in the first edition: Starr, Ross M. (2011). "8 Convex sets, separation theorems, and non-convex sets in R^N". General equilibrium theory: An introduction (Second). Cambridge: Cambridge University Press. doi:10.1017/CBO9781139174749. ISBN 978-0-521-53386-7. MR 1462618.

    In Ellickson, page xviii, and especially Chapter 7 "Walras meets Nash" (especially section 7.4 "Nonconvexity" pages 306–310 and 312, and also 328–329) and Chapter 8 "What is Competition?" (pages 347 and 352): Ellickson, Bryan (1994). Competitive equilibrium: Theory and applications. Cambridge University Press. 420. doi:10.2277/0521319889. ISBN 978-0-521-31988-1.

24. Pages 93–94 (especially example 1.92), 143, 318–319, 375–377, and 416: Carter, Michael (2001). Foundations of mathematical economics. Cambridge, MA: MIT Press. xx+649. ISBN 0-262-53192-5. MR 1865841.

    Page 309: Moore, James C. (1999). Mathematical methods for economic theory: Volume I. Studies in economic theory. 9. Berlin: Springer-Verlag. xii+414. doi:10.1007/978-3-662-08544-8. ISBN 3-540-66235-9. MR 1727000.

    Pages 47–48: Florenzano, Monique; Le Van, Cuong (2001). Finite dimensional convexity and optimization. Studies in economic theory. 13. in cooperation with Pascal Gourdel. Berlin: Springer-Verlag. xii+154. doi:10.1007/978-3-642-56522-9. ISBN 3-540-41516-5. MR 1878374.

25. Economists have studied non-convex sets using advanced mathematics, particularly differential geometry and differential topology, Baire category, measure (mathematics) and integration theory, and ergodic theory: Trockel, Walter (1984). Market demand: An analysis of large economies with nonconvex preferences. Lecture Notes in Economics and Mathematical Systems. 223. Berlin: Springer-Verlag. viii+205. doi:10.1007/978-3-642-46488-1. ISBN 3-540-12881-6. MR 0737006.
26. Sraffa, Piero (1926). "The Laws of returns under competitive conditions". Economic Journal. 36 (144). 535–550. JSTOR 2959866.
27. Hotelling, Harold (July 1938). "The General welfare in relation to problems of taxation and of railway and utility rates". Econometrica. 6 (3): 242–269. doi:10.2307/1907054. JSTOR 1907054.
28. Pages 5–7: Quinzii, Martine (1992). Increasing returns and efficiency (Revised translation of (1988) Rendements croissants et efficacité economique. Paris: Editions du Centre National de la Recherche Scientifique). New York: Oxford University Press. viii+165. ISBN 0-19-506553-0.
29. Pages 63–65: Laffont, Jean-Jacques (1988). "3 Nonconvexities". Fondements de L'economie Publique [Fundamentals of public economics]. MIT. ISBN 0-262-12127-1.
30. Starrett, David A. (1972). "Fundamental nonconvexities in the theory of externalities". Journal of Economic Theory. 4 (2). 180–199. doi:10.1016/0022-0531(72)90148-2. MR 0449575.
31. Pages 106, 110–137, 172, and 248: Baumol, William J.; Oates, Wallace E.; with contributions by V. S. Bawa and David F. Bradford (1988). "8 Detrimental externalities and nonconvexities in the production set". The Theory of environmental policy (Second). Cambridge: Cambridge University Press. x+299. doi:10.2277/0521311128. ISBN 978-0-521-31112-0.
32. Radner, Roy (1968). "Competitive equilibrium under uncertainty". Econometrica. 36. 31–53. doi:10.2307/1909602. JSTOR 1909602.
33. Starrett discusses non-convexities in his textbook on public economics (pages 33, 43, 48, 56, 70–72, 82, 147, and 234–236): Starrett, David A. (1988). Foundations of public economics. Cambridge economic handbooks. Cambridge: Cambridge University Press. ISBN 9780521348010.
34. Page 270: Drèze, Jacques H. (1987). "14 Investment under private ownership: Optimality, equilibrium and stability". In Drèze, J. H. (ed.). Essays on economic decisions under uncertainty. Cambridge: Cambridge University Press. 261–297. doi:10.1017/CBO9780511559464. ISBN 0-521-26484-7. MR 0926685. (Originally published as Drèze, Jacques H. (1974). "Investment under private ownership: Optimality, equilibrium and stability". In Drèze, J. H. (ed.). Allocation under Uncertainty: Equilibrium and Optimality. New York: Wiley. 129–165.)
35. Magille, Quinzii, Section 31 "Partnerships", p. 371): Magill, Michael; Quinzii, Martine (1996). "6 Production in a finance economy". The Theory of incomplete markets. Cambridge, Massachusetts: MIT Press. 329–425.
36. Ramsey, F. P. (1928). "A Mathematical Theory of Saving". Economic Journal. 38 (152): 543–559. doi:10.2307/2224098. JSTOR 2224098.
37. Hotelling, Harold (1931). "The Economics of Exhaustible Resources". JPE. 39 (2): 137–175. doi:10.1086/254195. JSTOR 1822328.
38. Adda, Jerome; Cooper, Russell (2003), , MIT Press, 2008-12-05 tarixində orijinalından arxivləşdirilib, İstifadə tarixi: 2020-10-12
39. Howard, Ronald A. (1960). Dynamic Programming and Markov Processes. The M.I.T. Press.
40. Sethi, S. P.; Thompson, G. L. (2000). Optimal Control Theory: Applications to Management Science and Economics (2nd). Berlin: Springer. ISBN 0-387-28092-8. Slides are available at http://www.utdallas.edu/~sethi/OPRE7320presentation.html
41. Troutman, John L. (1996). With the assistance of William Hrusa (ed.). Variational calculus and optimal control: Optimization with elementary convexity. Undergraduate Texts in Mathematics (Second). New York: Springer-Verlag. xvi+461. doi:10.1007/978-1-4612-0737-5. ISBN 0-387-94511-3. MR 1363262.
42. Craven, B. D. (1995). Control and optimization. Chapman and Hall Mathematics Series. London: Chapman and Hall, Ltd. x+193. doi:10.1007/978-1-4899-7226-2. ISBN 0-412-55890-4. MR 1349574.
43. Vinter, Richard (2000). Optimal control. Systems & Control: Foundations & Applications. Boston, MA: Birkhäuser Boston, Inc. xviii+507. ISBN 0-8176-4075-4. MR 1756410.
44. Beckmann, Martin; Muth, Richard F. (1954). "On the solution to the fundamental equation of inventory theory". Cowles Commission Discussion Paper. 2116.
45. Merton, Robert C. (1973). "An Intertemporal Capital Asset Pricing Model". Econometrica. 41 (5): 867–887. doi:10.2307/1913811. JSTOR 1913811.
46. Stokey, Nancy; Lucas, Robert E.; Prescott, Edward (1989). Recursive Methods in Economic Dynamics. Harvard Univ. Press. ISBN 0-674-75096-9.
47. Dixit, Avinash; Pindyck, Robert (1994). Investment Under Uncertainty. Princeton Univ. Press. ISBN 0-691-03410-9.
48. Dasgupta, Heal, (1979. səh. 96–97, 285, 404, 420, 422, and 429)
49. Dasgupta, Heal, (1979. səh. 51, 64–65, 87, and 91–92)
50. Heal, (1999. səh. 4 in preprint): Heal, G. M. (1999). (PDF). The economics of increasing returns. The International Library of Critical Writings in Economics. Edward Elgar. 640. ISBN 978-1-85898-160-4. 15 September 2015 tarixində orijinalından (PDF) arxivləşdirilib. İstifadə tarixi: 5 March 2011.
51. Rockafellar, R. Tyrrell; Wets, Roger J-B (1998). Variational analysis. Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften [Fundamental Principles of Mathematical Sciences]. 317. Berlin: Springer-Verlag. xiv+733. doi:10.1007/978-3-642-02431-3. ISBN 3-540-62772-3. MR 1491362.
52. Algebraic topology has also been used to study convex and non-convex sets in economics:Chichilnisky, G. (1993). "Intersecting families of sets and the topology of cones in economics" (PDF). Bulletin of the American Mathematical Society. New Series. 29 (2). 189–207. doi:10.1090/S0273-0979-1993-00439-7. MR 1218037.