Tərs funksiya

Tutaq ki, ${\displaystyle y=f(x)}$,${\displaystyle x\in D(f)}$ ədədi funksiya verilmişdir. Onda hər bir ${\displaystyle x_{0}\in D(f)}$ ədədinə yeganə ${\displaystyle y_{0}=f(x_{0})\in E(f)}$ ədədi uyğundur. Funksiyanın verilən ${\displaystyle y_{0}}$ qiymətinə görə arqumentin uyğun qiymətinin tapılmasına, daha doğrusu

${\displaystyle f(x)=y_{0}}$, ${\displaystyle y_{0}\in E(f)}$

tənliyinin ${\displaystyle x}$-ə nəzərən həllinə tez-tez rast gəlinir. Həmin tənliyin bir yox, bir neçə və hətta sonsuz sayda həlli ola bilər. ${\displaystyle y=f(x)}$ funksiyasının qrafiki ilə ${\displaystyle y=y_{0}}$ düz xəttinin kəsişdiyi bütün nöqtələrin absisləri ${\displaystyle f(x)=y_{0}}$ tənliyinin Əgər ${\displaystyle f}$ funksiyası hər bir ${\displaystyle y_{0}\in E(f)}$ qiymətini ancaq yeganə bir ${\displaystyle x_{0}\in D(f)}$ qiymətində alırsa, onda o funksiya dönən adlanır. Belə funksiyalar üçün

${\displaystyle f(x)=y}$

tənliyini istənilən ${\displaystyle y\in E(f)}$ qiymətində x-ə nəzərən birqiymətli həll etmək olar, daha doğrusu hər bir ${\displaystyle y\in E(f)}$ qiymətinə yeganə ${\displaystyle x\in D(f)}$ qiyməti uyğundur. Bu uyğunluq funksiya təyin edir, özü də ${\displaystyle f}$ funksiyasının tərsi adlanır və ${\displaystyle f^{-1}}$ simvolu ilə işarə olunur. Qeyd edək ki, hər bir ${\displaystyle y_{0}\in E(f)}$ üçün ${\displaystyle y=y_{0}}$ düz xətti dönən ${\displaystyle y=f(x)}$ funksiyasının qrafikini yeganə ${\displaystyle (x_{0},y_{0})}$ nöqtəsində kəsir, burada ${\displaystyle f(x_{0})=y_{0}}$ . Tərs funksiyanın arqumentini ${\displaystyle x}$ hərfi ilə, onun qiymətini isə – ${\displaystyle y}$ hərfi ilə işarə edərək, ${\displaystyle f}$ funksiyasının tərs funksiyasını

${\displaystyle y=f^{-1}(x),x\in D(f^{-1})}$ ,

şəklində yazırlar. Sadəlik üçün ${\displaystyle f^{-1}}$ simvolu əvəzinə ${\displaystyle g}$ hərfindən istifadə edəcəyik. Verilən funksiya ilə onun tərsinin əlaqəsini göstərən aşağıdakı xassələri qeyd edək:

1. Əgər ${\displaystyle g}$ funksiyası ${\displaystyle f}$-in tərs funksiyasıdırsa, onda ${\displaystyle f}$-də ${\displaystyle g}$-nin tərs funksiyasıdır; əlavə olaraq

${\displaystyle D(g)=E(f),E(g)=D(f)}$,

daha doğrusu ${\displaystyle g}$ funksiyasının təyin oblası ${\displaystyle f}$ funksiyasının qiymətlər çoxluğu ilə üst-üstə düşür və tərsinə;

2. İstənilən ${\displaystyle x\in D(f)}$ üçün

${\displaystyle g(f(x))=x}$,

bərabərliyi doğrudur, istənilən ${\displaystyle x\in E(f)}$ üçün isə

${\displaystyle f(g(x))=x}$,

bərabərliyi doğrudur;

3. ${\displaystyle y=g(x)}$ funksiyasının qrafiki ${\displaystyle y=f(x)}$ funksiyasının qrafikinə ${\displaystyle y=x}$ düz xəttinə nəzərən simmetrikdir;

4. Əgər tək funksiya dönəndirsə, onda onun tərsi də eyni zamanda tək funksiyadır;

5. Əgər ${\displaystyle f}$ ciddi artan (ciddi azalan) funksiyadırsa, onda o dönəndir, eyni zamanda onun tərsi ${\displaystyle g}$ ciddi artan (ciddi azalan) funksiyadır. Birinci iki xassə tərs funksiyanın bilavasitə tərifindən, dördüncü və beşinci xassələr isə tərs funksiyanın və uyğun olaraq tək və ciddi monoton funksiyaların təriflərindən alınır.

Bəzi funksiyalar və onların tərsi:

f funksiyası	funksiyanın tərsi ${\displaystyle f^{(-1)}}$	Qeydlər
x+a	y-a
a-x	a-y
mx	${\displaystyle {\frac {y}{m}}}$	m${\displaystyle \neq }$0
${\displaystyle {\frac {1}{x}}}$	${\displaystyle {\frac {1}{y}}}$	x,y${\displaystyle \neq }$0
${\displaystyle x^{2}}$	${\displaystyle {\sqrt {y}}}$	x,y${\displaystyle \geq }$0
${\displaystyle x^{3}}$	${\displaystyle {\sqrt[{3}]{y}}}$	x və y-ə məhdudiyyət qoyulmur
${\displaystyle x^{p}}$	${\displaystyle {\sqrt[{p}]{y}}}$	x,y${\displaystyle \geq }$0 ,p${\displaystyle \neq }$0
${\displaystyle 2^{x}}$	${\displaystyle \log _{2}}$y	y${\displaystyle >}$0
${\displaystyle e^{x}}$	${\displaystyle \ln }$y	y${\displaystyle >}$0
${\displaystyle 10^{x}}$	${\displaystyle \lg }$y	y${\displaystyle >}$0
${\displaystyle a^{x}}$	${\displaystyle \log _{a}}$y	y${\displaystyle >}$0 və a${\displaystyle >}$0