Mülahizə

Hər bir elmin özünə məxsus ilkin anlayışları vardır ki, onlar baxılan nəzəriyyə hüdudları daxilində ciddi məntiqi tərifə malik deyil. Riyazi məntiqin belə anlayışları sirasına “mülahizə”, “məntiq əməlləri”, “predikat” kimi anlayışlar daxildir. Belə anlayışların “tərifi” adi dilin qanunauyğunluqlarından istifadə olunmaqla, obyektin əsas xüsusiyyətlərini ifadə etməklə verilir, yəni anlayış öz xarakterik xüsusiyyətləri ilə təsvir olunur.

Tərif 1. Mülahizə elə nəqli cümləyə deyilir ki, onun doğru yaxud yalan olduğunu hökm etmək mümkün olsun.

Əlbəttə, nəqli cümlə anlayışı dəqiq tərif olunmadığı üçün onun doğru və ya yalan olması kriteriyası, ümumi halda, intuitiv olaraq müəyyən olunur. Verilən cümlənin doğru olması ona qarşı “${\displaystyle D}$” doğruluq qiymətinin qarşı qoyulması, yalan oması isə “${\displaystyle Y}$” doğruluq qiymətinin qarşı qoyulması deməkdir. Bəzən bunların yerinə ${\displaystyle 1}$ və ${\displaystyle 0}$ ədədlərindən də istifadə olunur.

Misallar.

1. “Hava buludludursa, deməli yağış yağacaq” cümləsi nəqli cümlədir və təcrübədən bizə məlumdur ki, o yalandır. Buna qörə də bu cümlə mülahizədir.

2. “${\displaystyle 3>2}$” mülahizədir, çünki, onun doğru olduğunu hökm edə bilərik.

3. “${\displaystyle x=2}$” mülahizə deyil; ${\displaystyle x}$ -in nəyi ifadə etdiyi məlum olmadığı üçün onun doğru və ya yalan olduğunu hökm etmək olmaz.

Mülahizələr böyük latın hərfləri ilə işarə olunur. Məsələn, ${\displaystyle A}$=“Hava buludludursa, deməli yağış yağacaq”, yaxud ${\displaystyle B=2>3}$. Mülahizələr üzərində məntiq əməlləri yerinə yetirmək olar.

Məntiq əməlləri bunlardır: inkar, konyunksiya, dizyunksiya, implikasiya, ekvivalensiya.

Bunlardan birincisi ancaq bir mülahizəyə tətbiq olunur. Qalanları isə iki mülahizənin köməyi ilə yeni mülahizə yaratmağa imkan verir. Onların işarələri, uyğun olaraq belədir: ${\displaystyle \lnot }$; ${\displaystyle \land }$; ${\displaystyle \lor }$; ${\displaystyle \rightarrow }$; ${\displaystyle \leftrightarrow }$;

1. ${\displaystyle A}$ mülahizəsinin inkarı ${\displaystyle \lnot A}$ ( “${\displaystyle A}$ deyil”, yaxud “qeyri ${\displaystyle A}$” kimi oxunur) kimi işarə olunan elə mülahizəyə deyilir ki, ${\displaystyle A}$ doğru olduqda o yalan, ${\displaystyle A}$ yalan olduqda isə o doğru olsun.

Məsələn, ${\displaystyle B}$=“${\displaystyle 2>3}$” mülahizəsi üçün ${\displaystyle \lnot B}$=“${\displaystyle 2\leq 3}$”. Yaxud, ${\displaystyle A}$=“Hava buludludursa, deməli yağış yağacaq” yalan mülahizəsinin inkarı isə ${\displaystyle \lnot A}$=“Hava buludlu deyil və yağış yağmayacaq”doğru mülahizəsi qəbul oluna bilər. ${\displaystyle A}$ və ${\displaystyle \lnot A}$ mülahizələrinin doğruluq qiymətlərini müəyyənləşdirmək üçün aşağıdakı cədvəldən istifadə etmək olar:

${\displaystyle A}$	${\displaystyle \lnot A}$
${\displaystyle D}$	${\displaystyle Y}$
${\displaystyle Y}$	${\displaystyle D}$

2. ${\displaystyle A}$ və ${\displaystyle B}$ mülahizələrinin konyunksiyası ${\displaystyle A\land B}$ ( “${\displaystyle A}$ və ${\displaystyle B}$ kimi oxunur) kimi işarə olunan elə yeni mülahizəyə deyilir ki, bu mülahizə yalnız və yalnız hər iki mülahizə doğru olduqda “${\displaystyle D}$” doğruluq qiymətini alsın.

Bu əməlin doğruluq cədvəlini aşağıdakı kimi vermək olar:

${\displaystyle A}$	${\displaystyle B}$	${\displaystyle A\land B}$
${\displaystyle D}$	${\displaystyle D}$	${\displaystyle D}$
${\displaystyle D}$	${\displaystyle Y}$	${\displaystyle Y}$
${\displaystyle Y}$	${\displaystyle Y}$	${\displaystyle Y}$

Bu cədvələ əsasən hökm etmək olar ki, “${\displaystyle x=2}$ ədədi

${\displaystyle x^{2}=4\land x-1=0}$

sisteminin köküdür” mülahizəsi yalandır, çünki ${\displaystyle x}$ -in yerinə ${\displaystyle 2}$ yazdıqda alınan ikinci mülahizə, yəni “${\displaystyle 2-1=0}$” mülahizəsi yalandır.

3. ${\displaystyle A}$ və ${\displaystyle B}$ mülahizələrinin dizyunksiyası ${\displaystyle A\lor B}$ ( “${\displaystyle A}$ və ya ${\displaystyle B}$” kimi oxunur) kimi işarə olunan elə yeni mülahizəyə deyilir ki, bu mülahizə yalnız və yalnız hər iki mülahizə yalan olduqda “${\displaystyle Y}$” doğruluq qiymətini alsın.

Məsələn, “${\displaystyle 2\leq 3}$” mülahizəsi iki mülahizənin dizyunksiyasıdır: “${\displaystyle 2\leq 3}$” = “${\displaystyle 2<3}$” ${\displaystyle \land }$ “${\displaystyle 2=3}$” (doğrudan da “${\displaystyle a\leq b}$” bərabərsizliyi “ ${\displaystyle a<b}$ və ya ${\displaystyle a=b}$ ” deməkdir). Tərifdən bilavasitə göründüyü kimi dizyunksiyanın “${\displaystyle D}$” doğruluq qiymətini alması üçün dizyunksiyası götürülən iki mülahizədən heç olmasa birinin “${\displaystyle D}$” doğruluq qiymətini alması kifayətdir.

Bu əməl üçün aşağıdakı doğruluq cədvəli vermək olar:

${\displaystyle A}$	${\displaystyle B}$	${\displaystyle A\lor B}$
${\displaystyle D}$	${\displaystyle D}$	${\displaystyle D}$
${\displaystyle D}$	${\displaystyle Y}$	${\displaystyle D}$
${\displaystyle Y}$	${\displaystyle Y}$	${\displaystyle Y}$

4. ${\displaystyle A}$ və ${\displaystyle B}$ mülahizələrinin implikasiyası ${\displaystyle A\rightarrow B}$ (“əgər ${\displaystyle A}$ isə, onda ${\displaystyle B}$” kimi oxunur) kimi işarə olunan elə yeni mülahizəyə deyilir ki, bu mülahizə yalnız və yalnız ${\displaystyle A}$ doğru və ${\displaystyle B}$ yalan olduqda “${\displaystyle Y}$” doğruluq qiymətini alsın.

Bu əməl üçün aşağıdakı doğruluq cədvəli vermək olar:

${\displaystyle A}$	${\displaystyle B}$	${\displaystyle A\rightarrow B}$
${\displaystyle D}$	${\displaystyle D}$	${\displaystyle D}$
${\displaystyle D}$	${\displaystyle Y}$	${\displaystyle Y}$
${\displaystyle Y}$	${\displaystyle Y}$	${\displaystyle D}$

Isbatı. ${\displaystyle A}$ və ${\displaystyle A\rightarrow B}$ mülahizələri doğru olarsa, implikasiyanın doğruluq cədvəlinə əsasən, ancaq cədvəlin birinci sətrinə uyğun olan hal mümkündür, yəni ${\displaystyle B}$ mülahizəsi də doğrudur. Teorem isbat olundu.

Bu teorem isbat nəzəriyyəsində mühüm rol oynayır. Bu teoremin köməyi ilə biz hər hansı ${\displaystyle B}$ mülahizəsinin doğruluğunu göstərmək üçün məlum olan ${\displaystyle A}$ teoremindən başlayırıq. ${\displaystyle A\rightarrow B}$ implikasiyasının doğru olduğunu göstərməklə, teoremə əsasən, ${\displaystyle B}$ mülahizəsini isbat etmiş oluruq. ${\displaystyle A}$ mülahizəsi implikasiyanın şərti, ${\displaystyle B}$ mülahizəsi isə onun nəticəsi adlanır.

Bir misala müraciət edək. Tutaq ki, ${\displaystyle A\rightarrow B}$ implikasiyası Pifaqor teoremini ifadə edir: əgər ${\displaystyle MNK}$ üçbucağında ${\displaystyle \angle N=90^{\circ }}$ olarsa, onda ${\displaystyle MN^{2}+NK^{2}=MK^{2}}$ . Hər hansı ${\displaystyle MNKT}$ düzbucaqlısında ${\displaystyle A}$ mülahizəsi olaraq ${\displaystyle \angle N=90^{\circ }}$ mülahizəsini götürək. Düzbucaqlının tərifinə görə bu mülahizə doğrudur. Onda, yuxarıdkı teoremə əsasən aşağıdkı doğru təklifi alırıq: düzbucqlının diaqonalının kvadratı onun oturacağı ilə yan tərəfinin kvadratları cəminə bərabərdir.

5. ${\displaystyle A}$ və ${\displaystyle B}$ mülahizələrinin ekvivalensiyası ${\displaystyle A\leftrightarrow B}$ (“${\displaystyle A}$ və ${\displaystyle B}$ eynigüclüdür, və ya ekvivalentdir” kimi oxunur) kimi işarə olunan elə yeni mülahizəyə deyilir ki, bu mülahizə yalnız və yalnız ${\displaystyle A}$ və ${\displaystyle B}$ eyni doğruluq qiymətlərini aldıqda “${\displaystyle D}$” doğruluq qiymətini alsın.

Bu əməl üçün aşağıdakı doğruluq cədvəli vermək olar.

${\displaystyle A}$	${\displaystyle B}$	${\displaystyle A\leftrightarrow B}$
${\displaystyle D}$	${\displaystyle D}$	${\displaystyle D}$
${\displaystyle D}$	${\displaystyle Y}$	${\displaystyle Y}$
${\displaystyle Y}$	${\displaystyle Y}$	${\displaystyle D}$

http://www.kitabyurdu.org/kitab/riyaziyyat/875-cebr-i-ii-iii-hisse.html