Eyler inteqralları

1. Qamma-funksiya

${\displaystyle x>0}$ olduqda

${\displaystyle \Gamma (x)=\int \limits _{0}^{+\infty }t^{x-1}e^{-t}dt}$ .

Qamma-funksiyasının əsas xassəsi

${\displaystyle \Gamma (x+1)=x\Gamma (x)}$

düsturu ilə ifadə olunur. Əgər ${\displaystyle n}$ natural ədəddirsə, onda

${\displaystyle \Gamma (n)=(n-1)!;}$ ${\displaystyle \Gamma (n+{\tfrac {1}{2}})={\tfrac {1\times 3...(2n-1)}{2^{n}}}{\sqrt {\pi }}}$ .

2. Tamamlama düsturu

${\displaystyle x}$ tam ədəddən fərqli olduqda

${\displaystyle \Gamma (x)\Gamma (1-x)={\tfrac {\pi }{\sin \pi x}}}$ .

Bu düstur arqumentin mənfi qiymətləri üçün qamma-funksiyasını təyin etməyə imkan verir.

3. Beta-funksiya

${\displaystyle x>0}$ və ${\displaystyle y>0}$ olduqda

${\displaystyle \mathrm {B} (x,y)=\int \limits _{0}^{1}t^{x-1}(1-t)^{y-1}dt}$ ,

${\displaystyle \mathrm {B} (x,y)={\tfrac {\Gamma (x)\Gamma (y)}{\Gamma (x+y)}}}$

düsturu dogrudur