Onluq kəsr

Kəsrlər

— həqiqi ədədləri ${\displaystyle \pm d_{m}\ldots d_{1}d_{0}{,}d_{-1}d_{-2}\ldots }$ şəklində göstərə bilən, kərslərin bir növü olmaqla, bir üsul sayılır

harada

${\displaystyle \pm }$ — kəsr işarəsi: ${\displaystyle +}$ və ya ${\displaystyle -}$

${\displaystyle ,}$ — onluq vergül, tam və kəsr hissələrinin ayrılmasını təmin edir,

${\displaystyle d_{k}}$ — onluq ədədlər. Qeyd edək ki, ədədlərin vergülə qədər olan sırası (yəni vergüldən solda) sonlu sayda, ən azı bir rəqəm, vergüldən sonra isə (yəni vergüldən sağda) isə həm sonlu (xüsusi halda heç olmaya da bilər), həm də ki sonsuz ola bilər.

Misallar:

• ${\displaystyle 123{,}45}$ (sonlu onluq kəsr)
• Failed to parse (sintaksis xətası): {\displaystyle <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>π<!-- π --></mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \pi }</annotation> </semantics> } π ədədinin sonsuz onluq kəsrlə ifadəsi : ${\displaystyle 3{,}1415926535897...}$

Onluq kəsrin qiyməti ${\displaystyle \pm d_{m}\ldots d_{1}d_{0},d_{-1}d_{-2}\ldots }$ onluq ədəd olur,

${\displaystyle \pm \left(d_{m}\cdot 10^{m}+\ldots +d_{1}\cdot 10^{1}+d_{0}\cdot 10^{0}+d_{-1}\cdot 10^{-1}+d_{-2}\cdot 10^{-2}+\ldots \right),}$

hansı ki sonlu və ya sonsuz sayda olan toplananların cəminə berabərdir.

Onluq ədədlərin onluq kəsrlərlə göstərilməsi, tam ədədlərin onluq say sistemində ümumiləşmiş yazılışıdır. Onluq ədədin onluq kəsrlə ifadəsində, vergüldən sonrakı rəqəmlər olmur və beləliklə bu ifadə aşağıdakı kimi göstərilir

${\displaystyle \pm d_{m}\ldots d_{1}d_{0},}$

hansı ki həmin ədədin onluq say sistemində yazılışı ilə üst-üstə düşür.

Sonlu və sonsuz onluq kəsrlər

Sonlu kəsrlər

Vergüldən sonra sonlu sayda rəqəm sayına malik olan onluq kəsr sonlu adlanır

${\displaystyle \pm a_{0}{,}a_{1}a_{2}\ldots a_{n}}$ 

tərifə gorə bu kəsr belə bir rəqəm ifadə edir

${\displaystyle \pm \sum _{k=0}^{n}a_{k}\cdot 10^{-k}}$ 

Sonsuz kəsrlər

Sonsuz onluq kəsr

${\displaystyle \pm a_{0}{,}a_{1}a_{2}\ldots }$ 

tərifə görə, belə bir həqiqi ədədlə ifadə olunur

${\displaystyle \pm \sum _{k=0}^{\infty }a_{k}\cdot 10^{-k}}$ 

Dövri onluq kəsrlər

Vergüldən sonra rəqəm sırası hansısa bir yerdən başlayaraq periodik şəkildə təkrarlanan raqəm qrupuna malik olan, sonsuz onluq kəsrlərə, dövri kəsrlər deyilir. Başqa cür desək, dövri kəsr-onluq kəsr, hansı ki aşağıdakı görüntüyə malikdir

${\displaystyle \pm a_{0},a_{1}\ldots a_{m}\underbrace {b_{1}\ldots b_{l}} \underbrace {b_{1}\ldots b_{l}} \ldots }$ 

Belə kəsrləri adətən qısa şəkildə aşağıdakı kimi yazırlar

${\displaystyle \pm a_{0},a_{1}\ldots a_{m}(b_{1}\ldots b_{l})}$ 

Təkrarlanan ədəd qrupuna ${\displaystyle b_{1}\ldots b_{l}}$  kəsrin dövrü deyilir, bu dövrün rəqəm sayına isə dövrün uzunluğu deyilir.

Əgər dövri kəsrdə dövr vergüldən dərhal sonra gələrsə, belə kəsrlərə saf dövri , əks halda isə, yəni vergül və ilk gələn dövrün arasında rəqəmlar varsa, belə kəsrlərə qarışıq dövri kəsrlər deyilir. Məsələn ${\displaystyle 1{,}(23)=1{,}2323\ldots }$  saf dövrü kəsr , ${\displaystyle 0{,}1(23)=0{,}12323\ldots }$  — qarışıq dövrü kəsr.

Teorem

İstənilən sonsuz onluq dövri kəsr rasional ədəd ifadə edir. Tərsi də doğrudur, belə ki, əgər rasional ədədi sonsuz onluq kəsrlə ifadə etmək olarsa, belə kəsr dövri kəsr sayılır .