Laplas teoremi

Laplas teoremi- determinantların minorlar üzrə ayrılışı.

TEOREM (Laplas).${\displaystyle n}$-tərtibli ${\displaystyle D}$ determinantının ixtiyari ${\displaystyle k}$ sayda ${\displaystyle (1\leq k\leq n-1)}$ sətrini (sütununu) seçib bunların nisbi vəziyyətini dəyişmədən bunlardan mümkün olan bütün müxtəlif ${\displaystyle k}$ tərtibli minorlar düzəltsək, onda bu minorların öz cəbri tamamlayıcıları ilə hasilləri cəmi determinantın özünə bərabər olar.

İSBATI. Tutaq ki, ${\displaystyle n}$-tərtibli ${\displaystyle D}$ determinantında hər hansı ${\displaystyle i_{1},i_{2},...,i_{k}}$ nömrəli sətirləri qeyd edib, həmin sətirlərdən bunların nisbi vəziyyətini dəyişmədən alınan ${\displaystyle k\times n}$ ölçülü matrisdən buradakı ${\displaystyle \alpha _{i_{1}},\alpha _{i_{2}},...,\alpha _{i_{k}}}$ sütunlarının köməyi ilə bütün mümkün ola bilən müxtəlif ${\displaystyle k}$-tərtibli ${\displaystyle M_{1},M_{2},...,M_{s}}$ minorlarını düzəltmişik (bunun üçün "kombinezon sayağı" qaydadan istifadə edirlər, yəni seçilmiş ${\displaystyle k}$ dənə ${\displaystyle \alpha _{i_{1}},\alpha _{i_{2}},...,\alpha _{i_{k}}}$ nömrəli sətirlərin nisbi vəziyyətini dəyişmədən bunların hər dəfə heç olmasa bir nömrəsi ilə fərqlənən müxtəlif ardıcıl nömrəli sütunlarla kəsişmələrinə baxmaq gərəkdir). Bu yolla düzəldilən ${\displaystyle M_{1},M_{2},...,M_{s}}$ minorlarının cəbri tamamlayıcıları ${\displaystyle A_{1},A_{2},...,A_{s}}$ olsun. Göstərməliyik ki:

${\displaystyle D=M_{1}A_{1}+M_{2}A_{2}+...+M_{s}A_{s}=\sum _{i=1}^{S}M_{i}A_{i}}$ (1)

${\displaystyle M_{i}A_{i}}$-lər öz işarələri ilə verilən ${\displaystyle D}$ determinantının hədləridir. Həmçinin buradakı ${\displaystyle M_{1},M_{2},...,M_{s}}$ minorları bir-birindən heç olmasa bir sütunu ilə fərqləndiyi üçün (1) cəmindəki toplananlar da ortaq həddə malik olmamalıdır. Deməli, (1) cəmində iştirak edən hasillərdən alınan hədlər hamısı verilən ${\displaystyle n}$-tərtibli determinantın müxtəlif hədləridir. Teoremin isbatını tamamlamaq üçün bu hədlərin sayının ${\displaystyle n!}$ olduğunu göstərməliyik. ${\displaystyle M_{i}(i={\overline {1,s}})}$ minorlarının hər biri ${\displaystyle k}$-tərtibli olduğundan bunların hədləri sayı ${\displaystyle k!}$, cəbri tamamlayıcılar isə ${\displaystyle (n-k)}$ tərtibli olduğundan bunlardakı hədlərin sayı ${\displaystyle (n-k)!}$ olur. ${\displaystyle M_{i}A_{i}}$ hasilinin hər birində determinantın ${\displaystyle k!(n-k)!}$ sayda həddi olmalıdır. (1) cəmində ${\displaystyle s}$ sayda toplanan olduğundan burada iştirak edən müxtəlif hədlərin sayı ${\displaystyle s\cdot k!(n-k)!}$ dənə olmalıdır. Buradakı ${\displaystyle s}$ əmsallı determinantın ${\displaystyle k}$ sayda sətrindən düzəldilməsi mümkün ola bilən ${\displaystyle k}$ tərtibli minorların sayıdır. Bu minorların düzəldilməsi qaydası və quruluşu elədir ki, onlar bir-birindən ancaq sütunlar ilə fərqlənirlər(heç olmasa bir sütunu ilə). Onda belə minorların sayı ${\displaystyle s=C_{n}^{k}={\frac {n!}{k!(n-k)!}}}$ olmalıdır. Deməli, (1) cəmində olan hədlərin ümumi sayı

${\displaystyle {\frac {n!}{k!(n-k)!}}\cdot k!(n-k)!=n!}$

olur, yəni bu cəmdə determinantın təkrar olunmamaq şərti ilə bütün ${\displaystyle n!}$ sayda hədlərinin hamısı iştirak edir.

Ədəbiyyat

• Maarif Əkbərov "Cəbr və Ədədlər nəzəriyyəsi"
• В. А. Ильин, Э. Г. Позняк Линейная алгебра, М.: Наука — Физматлит, 1999.
• Беклемишев Д. В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры. М.: Физматлит, 2000.
• Кострикин А. И. Введение в алгебру. Часть 1. Основы алгебры: Учебник для вузов. М.: Физматлит, 2004.