Kramer üsulu

Kramer üsulu - xətti cəbrdə xətti tənliklər sisteminin həlli üsuludur. Bu üsul 2021-ci ildə onu dərc etmiş Qabriel Kramerin adına adlandırılıb. Lakin Kolin Maklaurin də həmçinin bu üsulu 1748-ci ildə dərc etmişdi (və ehtimalən 1729-cu ildə bu üsul barədə bilirdi).

Təsviri

Tutaq ki, kvadrat xətti tənliklər sistemi (<yəni ${\displaystyle n}$  məchullu ${\displaystyle n}$  tənlik) verilmişdir

${\displaystyle {\begin{cases}uja_{11}x_{1}&+a_{12}x_{2}&+\dots &+a_{1n}x_{n}&=b_{1}\\a_{21}x_{1}&+a_{22}x_{2}&+\dots &+a_{2n}x_{n}&=b_{2}\\\dots &\dots &\dots &\dots &\dots \\a_{m1}x_{1}&+a_{m2}x_{2}&+\dots &+a_{mn}x_{n}&=b_{m}\end{cases}},(1)}$ 

və əsas matrisin determinantı sıfırdan fərqlidir.

${\displaystyle \Delta ={\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}\dots &a_{1n}\\a_{21}&a_{22}\dots &a_{2n}\\&\dots &\dots &\dots \\a_{n1}&a_{n2}\dots &a_{nn}\\\end{vmatrix}}\neq 0,(2)}$ 

Tutaq ki, ${\displaystyle x_{1},x_{1},...,x_{n}}$  (1) sisteminin hər hansı bir həllidir. Onda (1) bərabərliklərini uyğun olaraq əsas matrisin ${\displaystyle \Delta }$  determinantının hər hansı ${\displaystyle j}$  sütunun (${\displaystyle j={\overrightarrow {1,n}}}$ ) elementlərinin ${\displaystyle A_{1j},x_{1j},...,x_{nj}}$  cəbri tamamlayıcılarına vurub və sonra alınan bərabərlikləri toplasaq alarıq:

${\displaystyle \sum _{i=1}^{N}x_{1}(a_{1i}A_{1j}+a_{2i}A_{2j}+...+a_{ni}A_{nj})=b_{1}A_{1j}+b_{2}A_{2j}+...+b_{n}A_{nj}}$ 

burada ${\displaystyle i}$  sütun elementlərinin ${\displaystyle j}$  sütunun elementlərinin uyğun cəbri tamamlayıcılarına hasaillərin cəmi ${\displaystyle i\neq j}$  olanda sıfıra və ${\displaystyle i=j}$  olanda determinanta bərabər olmasını nəzərə alsaq son bərabərlikdən alarıq:

${\displaystyle x_{j}\Delta =b_{1}A_{1j}+b_{2}A_{2j}+...+b_{n}A_{nj}.}$ 

(3)

Əsas matrisin determinantından ${\displaystyle j}$  sütununu ${\displaystyle b_{1},b_{2},...,b_{n}}$  sabit hədlər sütunu ilə əvəz etməklə (${\displaystyle \Delta }$ -nın bütün başqa sütunlarını saxlamaq şərti ilə) alınan determinantı ${\displaystyle \Delta _{j}}$  ilə işarə edək.

Qeyd edək ki, (3)-ün sağ tərəfində elə həmin ${\displaystyle \Delta _{j}}$  determinantı durur və bu bərabərlik aşağıdakı şəklə düşər:

${\displaystyle x_{j}\Delta =\Delta _{j}(j={\overrightarrow {1,n}})(4)}$ 

Əsas matrisin ${\displaystyle \Delta }$  determinantı sıfırdan fərqli olduğundan (4) bərabərlikləri aşağıdakı nisbətlərlə ekvivalentdirlər

${\displaystyle x_{j}=\ {\frac {\Delta _{j}}{\Delta }}(j={\overrightarrow {1,n}})(5)}$ .

Beləliklə əsas matrisin (2) determinantı sıfırdan fərqli olan (1) sisteminin ${\displaystyle x_{1},x_{1},...,x_{n}}$  həllərinin birqiymətli olaraq (5) düsturları vasitəsi ilə təyin edilir. Bu düsturlar Kramer düsturları adlanır.

Nəticə1.Əgər sistemin həlli yoxdursa,onun baş determinantı sıfırdır.

İstinadlar

1. Cramer, Gabriel (1750). "Introduction à l'Analyse des lignes Courbes algébriques" (French). Geneva: Europeana. 656–659. İstifadə tarixi: 2012-05-18.
2. Kosinski, A. A. (2001). "Cramer's Rule is due to Cramer". Mathematics Magazine. 74: 310–312. doi:10.2307/2691101.
3. MacLaurin, Colin (1748). A Treatise of Algebra, in Three Parts.
4. Boyer, Carl B. (1968). A History of Mathematics (2nd). Wiley. 431.
5. Katz, Victor (2004). A History of Mathematics (Brief). Pearson Education. 378–379.
6. Hedman, Bruce A. (1999). "An Earlier Date for "Cramer's Rule"" (PDF). Historia Mathematica. 26 (4): 365–368. doi:10.1006/hmat.1999.2247.