0.(9)

0.999... (həmçinin 0.9, 0.(9) kimi yazılır) — Riyaziyyatda onluq nöqtədən sonra yazılan sonsuz sayda 9 rəqəmindən ibarət olan rasional ədəd. 0.999... ədədi 0.9, 0.99, 0.999 və s. kimi ədədlərin hamısından böyükdür. Bu ədəd 1-ə bərabər olaraq göstərilə bilər. Başqa sözlə "0.999 ..." və "1" eyni ədədi təmsil edir. Bu bərabərliyin riyazi olaraq sübuta yetirilməsinin bir çox yolu var.

Onluq kəsrdə 9 rəqəmi sonsuza kimi təkrarlanır.

Cəbri isbatlar

Dövri kəsrlərdən

Hər rasional ifadə sonlu sayda rəqəm ehtiva edən onluq ədədlərlə ifadə edilə bilməz. Məsələn;

${\displaystyle {\frac {5}{9}}=0,(5)}$ 

${\displaystyle {\frac {1}{3}}=0,(3)}$  kimi.

Əgər ikinci bərabərliyin hər iki tərəfini 3-ə vursaq:

${\displaystyle {\frac {3}{3}}=3\times 0,{\bar {3}}}$ 

${\displaystyle 1=0,(9)}$  bərabərliyini alarıq.

Dörd əməliyyatdan

${\displaystyle 0.(9)}$  ədədini riyaziyyat dilində məchul ifadələrə verilən ${\displaystyle x}$  ilə əvəzləyək.

${\displaystyle x=0,(9)}$ 

Hər iki tərəfi 10-a vuraq.

${\displaystyle 10x=9,(9)}$ 

Hər iki tərəfdən ədədin özünü, yəni ${\displaystyle x}$ -i çıxaq.

${\displaystyle 9x=10x-x=9,(9)-0,(9)=9}$ 

Sadələşdirək.

${\displaystyle x=1}$ 

Limitdən

Ədədimizi limit dilində ifadə ədək:

${\displaystyle 0.999\ldots =\lim _{n\to \infty }0.\underbrace {99\ldots 9} _{n}=\lim _{n\to \infty }\sum _{k=1}^{n}{\frac {9}{10^{k}}}=\lim _{n\to \infty }\left(1-{\frac {1}{10^{n}}}\right)}$ 

${\displaystyle n}$  sonsuza yaxınlaşarkən ${\displaystyle {\frac {1}{10^{n}}}}$  ifadəsi ${\displaystyle 0}$ -a bərabərdir. Buradan alınır ki;

${\displaystyle =1-\lim _{n\to \infty }{\frac {1}{10^{n}}}=1\,}$  dir.

Sonsuz ardıcıllıqlardan

Teorem:${\displaystyle |r|<1}$  və ${\displaystyle a}$  sabit ədəddir və ${\displaystyle ar+ar^{2}+ar^{3}+\cdots ={\frac {ar}{1-r}}}$ -dir.

Ümumi termini ${\displaystyle r=\textstyle {\frac {1}{10}}}$  və sabit ədədi ${\displaystyle 9}$  olan ardıcıllıq ${\displaystyle 0.(9)}$ -dur. Teoremimizi ədədimizə tətbiq etsək

${\displaystyle 0.999\ldots =9({\tfrac {1}{10}})+9({\tfrac {1}{10}})^{2}+9({\tfrac {1}{10}})^{3}+\cdots ={\frac {9({\tfrac {1}{10}})}{1-{\tfrac {1}{10}}}}=1}$  olduğunu görə bilərik.

İstinadlar

1. 0.9, 0.99, 0.999 və s. kimi ifadələrdə sonuncu mərtəbədən sonra 0 rəqəmləri yazıla bilər və bu ifadənin qiymətini dəyişmir. Riyaziyyatdan məlumdur ki:
   ${\displaystyle 0.9000...<0.9900...<...<0.9999...}$